三角比と絶対値の問題について

Question

数学の問題の解き方を分かりやすく教えて下さい。

１　cos75°をもとめよ
２　sin15°をもとめよ
３　cos15°をもとめよ
４　｜－√４｜　←絶対値マイナスルート４

５写真の問題について
　ＡＢが２√２　ＡＣが２√３　Ｂが６０°　Ｃが45°
点Ａからおろした垂線とＢＣとの交点をＨとする時ＢＨとＨＣの長さを求めよ。

以上の問題について分かりやすい解説お願いします。
数学苦手で数１Ａの範囲しか知らない社会人なので考える順序も教えていただけると助かります。
よろしくお願いします。

suko22 · Accepted Answer

＞(3)cos15°=cos(45°-30°)を

＞　cos15°=cos(60°-45°)で試しに計算してみたら上と下で答えが違ってるんですが
＞cos15°だったらcos(45°-30°)で考えるみたいな決まりがあるのでしょうか？

絶対に同じになります。

やってみますね。
cos15°=cos(45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°
　　　　　　　　　　　 =1/√2*√3/2+1/√2*1/2=(√3+1)/2√2=(√6+√2)/4

cos15°=cos(60°-45°）=cos60°cos45°+sin60°sin45°
　　　　　　　　　　　 =1/2*1/√2+√3/2*1/√2＝(1+√3)/2√2=(√2+√6)/4

もう一度自分で計算確認してみてください。

Ｐ．Ｓ．＃１の回答の計算結果に一部誤りがあります。＃２さんが訂正してくれたようなので、そちらを見てください。すみません。

yyssaa · Answer

(1)cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°
=1/√2*√3/2-1/√2*1/2＝（√3-1）/2√2＝（√6-√2）/4

(4)√4=2

suko22 · Answer

(1)～(3)は加法定理を知っていないと簡単に計算ができないと思います。加法定理は確か数IIだったと思います。

公式は、
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
cos(α±β)=cosαcosβ ∓sinαsinβ
とシンプルですので覚えておいて下記のように使えるようにしておけばよいと思います。

(1)cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°
                        =1/√2*√3/2-1/√2*1/2＝（√3-1）/√2＝（√6-√2）/2

(2)sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°
　　　　　　　　　　　　=以下各三角比の値を代入して式を整理

(3)cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°
　　　　　　　　　　　　=以下値を代入して整理。

それぞれの三角比の出し方は直角三角形を書いて求めればよいと思います。
cos45°ならば、45°45°90°の直角三角形を書いて、その辺の比より、1/√2のような感じで。

sin120°とかになってくると座標平面上で直角三角形を考える必要があるので注意が必要ですが、0～90°の範囲なら普通に直角三角形で処理してしまえばよいと思います。

どういう目的でどのレベルまで勉強する必要があるのかよくわからないので、一番簡単に処理できるかと思われる方法をご紹介しました。

(4)絶対値は数の大きさのことです。数直線上で原点Ｏからどのくらい距離が離れているかと考えるとわかりやすいかと思います。距離なので値は必ず正になります。
｜-√4｜＝-（-√4）＝√4（｜-√4｜＝√4といきなりしてもかまいません）

(5)45°45°90°の直角三角形の辺の比は図にも書いてあるとおり1：1：√2です。
　30°60°90°の直角三角形の辺の比は1：2；√3です。

△ＡＣＨでＣＨ＝ｘと置くと、
　ＡＣ：ＣＨ＝√2：1になりますから、
　2√3：ｘ＝√2：1となり、
　√2*ｘ＝2√3
　ｘ＝2√3/√2＝√6

△ＡＢＨでＢＨ＝ｙと置くと、
　ＡＢ：ＢＨ＝2：1になりますから、
　2√2：ｙ＝2：1になり、
　2ｙ＝2√2
　ｙ＝√2

＞(3)cos15°=cos(45°-30°)を