複素固有値問題について

固有値問題についてわからなくなってしまったのでアドバイス宜しくお願いします。

基本はAｘ＝λx--(1)
の様なシステムが固有値問題で共振するとxは限りなく増幅され、系は破壊されると理解していました。しかし通常のマス－バネ－ダンパシステムは
Mｘ・・＋ｃｘ・＋kｘ＝f--(2)
となり、c=0(当然外力ｆ＝0）と仮定しない限り(1)の式になりません。従って通常の固有値解析ではc=0とすると思っていました。

(2)を解く為に、x=Ce＾λtとおいて特性方程式を出し、それの解をタイプ分けしてクリティカル、オーバー、アンダーダンピングと分類する方法は理解できます。結果それが複素固有値解析と呼ばれているかと思うのですが、ダンピングのある系は減衰する為、固有値問題特有の共振という概念をどう適用すればよいかわかず、複素固有値解析という名称に違和感を感じております。ただの微分方程式の一般解の一部であると思うのですが・・・。どなたかアドバイス頂ければ幸いです。

No.1 ベストアンサー 回答者： foobar 回答日時： 2012/11/05 11:06

固有値解析をするときにはf=0としますが、c=0とはしないかと思います。

c=0 としてしまうとシステムの特性が変わってしまうので。
ダンピングがある系でも、固有値の虚部に相当する周波数を入力した場合には他の周波数の場合と比べて、出力は大きくなり、共振現象は現れます。

この回答への補足

誤記；ωd=ω0(ζ±√(ζ2-1)

λ1、λ2=ω0(－ζ±√(ζ2-1)でした。

補足日時：2012/11/18 22:06

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。確かにc=0とすると解が変わる事は理解できます。そして共振モードが有限にしろ現れるのもわかりました。

私の思い込みかAX=λXという形式のみが固有値問題で、cがある場合は一般の微分方程式のf=0の場合のhomogeneousな解という理解でした。調べるとωd=ω0(ζ±√(ζ2-1)ここでζ=c/2√mk、ω0=√(k/m)との関係があり、ζの値次第でωがシフトするみたいですね。

もう少し調べてみます。ありがとうございました。

お礼日時：2012/11/18 20:42

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/11/06 18:35

>ダンピングのある系は減衰する為、固有値問題特有の共振という概念をどう適用すればよいかわかず

「固有値問題特有の共振という概念」というのは今日はじめて知りましたが(^^;

強制振動時、ダンピング項以外が相殺して消えてしまい、特定周波数で振幅が
増大する現象を共振というと思いますが、いかがでしょう？
＃同次線形方程式なら行列など使わずにラプラス変換で扱うのがお手軽だと思いますが・・・

何が問題なのかイマイチ見えません。「固有値問題特有の共振という概念」というのを
もう少し説明されたらどうでしょう？

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

まず私に以下の誤解がありました。
(1)cがある系は固有値問題ではない。
(2)共振は固有値問題以外に発生しない。
(3)共振すれば、システムの振幅は無限大に増幅され破壊される。

外力が入力されて場合、その振動数が下記で計算されるωdに一致すれば共振すると理解しました。ζ次第でそれは外力振幅より大きくなったり小さくなったりします。従ってｃ項はζに影響しますので、c項は共振に影響します。

従って「強制振動時、ダンピング項以外が相殺して消えてしまい、特定周波数で振幅が増大する現象を共振というと思いますが、いかがでしょう？」という点は今現在私には理解できていません。

下記の回答にも書かせて頂きましたが、AX=λXという形式のみが固有値問題という理解に問題があったかもしれません。その点続けて考えてみます。

お礼日時：2012/11/18 20:58

No.2 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/11/05 21:02

マス－バネ－ダンパシステム

　Mx'' + cx' + kx = f
は駆動力 f に応じた動作をしますが、システム内には駆動源をもってません。

それでもアンダーダンピングの系であれば、駆動力 f に共振し得ます。
いわゆる高 Q の系なら、その応答の振幅がかなり増大するケースもある。
耐性設計などに過誤があれば、振幅 x が系の耐破壊強度の限界を超えて、系が自壊することもあるわけです。

　　

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

ご指摘のアンダー、オーバー、クリティカルいずれにせよ減衰項があるので振幅は減少するだけと思っていました。ただ、cがあるばあい、あるζでは入力振幅より大きい有限の共振が起こるという事は理解しました。

私の理解はcが全くない系で、振幅比が無限大となるというようなイメージをしていました。けど材料力学の最大主応力もよく考えれば応力テンソルの固有値問題となり、最大主応力は有限の値ですから私の無限大という理解が間違っていました。

お礼日時：2012/11/18 20:48