xy平面上に3点

A(1,0)、B(0,1)、C(2,1)が与えられている
点Pは線分BA上を、点Qは線分AC上を、同時にそれぞれPはBを出発してAまで、QはAを出発してCまで、同じ速さで進むものとする
このとき線分PQが覆う図形をFとする
(1)図形Fと直線x=k(0≦k≦1)との交わりである図形の長さl(k)を求めよ
(2)図形Fをx軸のまわりに1回転させて出来る回転体の体積を求めよ


解き方を教えてください

No.5 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/02/23 14:40

回答No.3の補足に対する回答です。

u=1+sとなるのは何故ですか？
＞Pはx=0から出発し、Qはx=1から出発して、x軸方向の速さは同じだから
同じ時刻のQのx座標はPのx座標+1になります。

あと、直線PQとx=kとの交点のy座標y(k)の最大値がl(k)となるのは何故ですか？
＞y(k)はP、Qの位置、すなわちsの値によって大きさが変わるが、今求めている
l(k)は図形の長さだからy(k)が一番大きくなったときがl(k)になります。

また、求める体積=2∫[x=0→1]πl(x)^2dx-2(1/3)π1^2*1の中の-2(1/3)π1^2*1はそもそも何なのでしょうか？
＞線分ABをx軸のまわりに1回転させて出来る回転体(半径1、高さ1の円錐)の
体積の2倍です。計算しているのはx=0からx=1までであり、求めている体積は
x=0からx=2までなので2倍しています。2∫[x=0→1]πl(x)^2dxこの式の最初
の2も同じ意味です。

この回答へのお礼

わかりました
ありがとうございました

お礼日時：2013/02/23 20:28

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2013/02/23 01:43

No.2です。

ANo,2の補足の質問の回答

>「P,Qの移動距離のx軸方向成分をpとすると」
x軸方向成分とは何ですか？また、なぜp=d/√2になるのですか？
Pは線分BA上をBからAまで移動、Qは線分AC上をAからCまで移動します。PがBA上をdだけ移動したらPはx軸方向にd/√2=p,y軸方向に-d/√2=-p（マイナスはy軸の負方向の意味）だけ移動します。この移動を移動ベクトルと考えてx軸方向成分とy軸方向成分に分解して考えることが理解できないのでしょうか？　
QのAからCへの移動（移動距離d）についても移動ベクトルと考えそれをx軸方向成分d/√2=pとy軸方向成分d/√2=pに分解して考えているだけです。
またQが

>「y=(2p-1)x-2p^2+1 ...(A)
>図形Fの上側の境界線は線分PQ」
>何との境界線ですか？

「図形Fの上側の境界線は線分PQ
　y=(2p-1)x-2p^2+1　(0≦p≦1) ...(B)
の包絡曲線になるから、この曲線を求めよう。」
と説明し、図でも描いていますが、(B)式で表される線分PQがp=0から1まで連続的に変化させたときにできる線分PQの通過領域がFです。線分PQが連続的に移動するとき、線分PQは何かの曲線に接しながら移動して行ます。この曲線を包絡線といい、この包絡線が領域Fの上側境界線になります。

なお、Pは線分BA上を移動し、Qは線分AC上を移動しますので、領域Fの下側境界線は線分BAと線分ACになります。
ANo2の添付図を良くみて考えてみて下さい、

この回答への補足

PがBA上をdだけ移動したらPがx軸方向にd/√2だけ移動すると分かるのは何故ですか？直角三角形で見ても、斜辺がd、底辺がp、残りの縦の線が1-pで、三平方の定理より、d^2=2p^2-2p+1、2p^2-2p-d^2+1=0、p={1+√(2d^2-1)}/2となってしまうのですが
つまり図形Fの上側の境界線は線分PQが絶対に通りこさない放物線のことだったんですね
わかりました

補足日時：2013/02/23 08:59

No.3 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/02/22 14:54

(1)図形Fと直線x=k(0≦k≦1)との交わりである図形の長さl(k)を求めよ

＞直線ABはy=1-x・・・(1)、直線ACはy=x-1・・・(2)
P(s,t)のときQ(u,v)とすると、t=1-s、v=u-1
u=1+sだからv=sよってP(s,1-s)、Q(1+s,s)となり、
直線PQはy=(2s-1)x+(1-2s^2)
この直線とx=kとの交点のy座標y(k)はy(k)=(2s-1)k+(1-2s^2)
0≦s≦1でy(k)の最大値を求めると
y(k)=-2s^2+2ks+1-k=-2(s-k/2)^2+1-k+(1/2)k^2
よって、y(k)はs=k/2のときに最大値(1/2)k^2-k+1となるので、
l(k)=(1/2)k^2-k+1・・・答
(2)図形Fをx軸のまわりに1回転させて出来る回転体の体積を求めよ
＞求める体積=2∫[x=0→1]πl(x)^2dx-2(1/3)π1^2*1
2∫[x=0→1]π{(1/2)x^2-x+1}^2dx-2(1/3)π1^2*1
=2π∫[x=0→1]{(1/4)x^4-x^3+2x^2-2x+1}dx-(2/3)π
=2π{(1/20)x^5-(1/4)x^4+(2/3)x^3-x^2+x}[x=0→1]-(2/3)π
=2π{(1/20)-(1/4)+(2/3)-1+1}-(2/3)π=2π(7/15)-(2/3)π
=(14/15-10/15)π=4π/15・・・答

この回答への補足

u=1+sとなるのは何故ですか？
あと、直線PQとx=kとの交点のy座標y(k)の最大値がl(k)となるのは何故ですか？
また、求める体積=2∫[x=0→1]πl(x)^2dx-2(1/3)π1^2*1の中の-2(1/3)π1^2*1はそもそも何なのでしょうか？

補足日時：2013/02/23 08:49

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/02/22 11:16

P,Qの移動速度をvとすると移動距離dと時間tの関係は

　d=vt (0≦d=vt≦√2=AB)
P,Qの移動距離のx軸方向成分をpとすると
　p=d/√2=vt/√2　(0≦p≦1)
という関係にある。このpを使って
P,Qの座標の座標を表すと
　P(p,1-p),Q(1+p,p)(0≦p≦1)
となる。
2点P,Qを通る直線の方程式は
　y=(2p-1)(x-p)+1-p
整理して
　y=(2p-1)x-2p^2+1 ...(A)
図形Fの上側の境界線は線分PQ
　y=(2p-1)x-2p^2+1　(0≦p≦1) ...(B)
の包絡曲線になるから、この曲線を求めよう。
包絡線上の任意点の座標を(x,y)とする。
(B)をpで微分してやると
　0=2x-4p ∴p=x/2　(0≦x≦2)...(C)
(C)を(A)に代入してpを消去してやると　
　y=(x-1)x-x^2/2+1
　y=x^2/2-x+1　(0≦x≦2)...(D)
これが包絡線の方程式（放物線の一部）で
図形Fの上側の境界線である。

(1)
(D)でx=k(0≦k≦1)とおいた式から
線分BA：y=1-x (0≦x≦1)でx=kと置いた式を
引けばl(k)が得られる。
　l(k)=k^2/2-k+1-(1-k)=k^2/2

(2)
回転体の立体の対称性からx=0～1までの体積を2倍すればよい。
体積Vはx軸の回りの回転体の体積公式を用いると

V=2π∫[0,1]{(x^2/2-x+1)^2-(1-x)^2}dx
=2π∫[0,1](x^4/4-x^3+x^2dx
=2π{(1/20)-(1/4)+(1/3)}
=4π/15

この回答への補足

「P,Qの移動距離のx軸方向成分をpとすると」
x軸方向成分とは何ですか？また、なぜp=d/√2になるのですか？
「y=(2p-1)x-2p^2+1 ...(A)
図形Fの上側の境界線は線分PQ」
何との境界線ですか？

補足日時：2013/02/22 14:15