組み合せと場合の数について教えてください！

１，１，２，２，３，３、・・・・・・・・n,nの２n個を、２個ずつのn組に分ける方法は何通りありますか。

例えば、n＝３の時は、（１、１）（２、２）（３、３）、、、（１、１）（２、３）（２、３）、、、（１、２）（１、２）（３、３）、、、（１、３）（１、３）（２、２）、、（１、２）（１、３）（２、３） の５通りとなります。
自分は以下のように考えましたが、最後の漸化式が解けませんでした。
まず題意を満たす場合の数をa(n)とし、また１,１,２,２・・・・・n,n,r,sの２（n＋１）個を、２個ずつのn+1組に分ける場合の数をb(n)とします。
a(n+3)について考えると（n≧１）、
（i)(n+3,n+3)と組みにしたとき、残りの分け方はa(n+2)通り。
（ii)(n+3,k)(n+3,k)と組みにしたとき（１≦k≦n+2),残りの分け方はa(n+1)通り。
（iii)(n+3,j)(n+3,k)と組みにしたとき（１≦ｊ＜ｋ≦ｎ+２）、ｊとｋの選び方はｎ+２C２通りで、残りの分け方はb(n)通り。
（i)(ii)(iii)より、a(n+3)=a(n+2)+(n+2)×a(n+1)+ｎ+２C２×b(n),(n≧１）・・・・・・・(1)

b(n+1)について考えると(n≧１）、
（i)（r,s)と組みにしたとき、残りの分け方はa(n+1)通り。
（ii)(r,k)と組にしたとき(1≦ｋ≦ｎ+１）、残りの分け方はb(n)通り。
（i)(ii)より、b(n+1)=a(n+1)+(n+1)×b(n),(n≧１）………(2)

(1)(2)からa(n)を消去すると ２×b(n+3)－２×（n＋４）×b(n+2)+(n+2)(n+1)b(n)=0,(n≧１）・・・・・・・(3)

(1)(2)からb(n)を消去すると ２×a(n+3)－２×（n＋３）×a(n+2)+(n+2)(n+1)a(n)=0,(n≧１）・・・・・・・(4)

上の問題はあるテキストの問題から考えました。そのテキストでは同じ数字を区別してやっていたのでわりとやりやすかったのですが、区別しないとどうなるだろうと考えたのが上の問題です。数学が得意な方よろしくお願いします。

No.5 回答者： Miss-raindrop 回答日時： 2013/03/06 06:52

No.4の補足です。

母関数表示から(少々複雑ですが)次の和表示が得られます。

a(n)={Σ[i=0..[n/2]] {Σ[j=0..n-2i] {n! (2j-1)!!/(i! j! (n-2i-j)!)} } }/2^n

ただし、Σ直後の[～]は和の範囲、[n/2]はn/2を超えない最大の整数、(2j-1)!!は2重階乗(5!!=5×3×1など)を表すものとします。
工夫すればより簡潔な表示も見つかるかもしれません。

この回答へのお礼

　ありがとうございました。こんな複雑な式になるとは驚きです。参考にさせていただきます。

お礼日時：2013/03/06 10:54

No.4 回答者： Miss-raindrop 回答日時： 2013/03/06 06:05

ご参考までに。

a(n)それ自身は簡単な表示を持たないと思いますが、
A(t):=Σa(n) t^n/n!, [和の範囲はn=0..∞]
という(指数型)母関数は
A(t)=exp(t×(t+2)/4)/√(1-t)
と閉じた式に表せます。

漸化式から一階の線形常微分方程式が立つので、それを積分して求められますが、もし計算間違いがあればごめんなさい。

この回答へのお礼

　ありがとうございました。微分方程式に持ち込むのですね。あとでやってみます。

お礼日時：2013/03/06 10:52

No.3 回答者： ask-it-aurora 回答日時： 2013/03/06 00:43

<<回答No.1補足

実際に一般項を計算をする前に，検算のために簡単なプログラムを書いて小さな値を計算しておきました．それで a(1) = 1, ..., a(4) = 17 までわかりました．OEIS の存在は知っていたので試しに1, 2, 5, 17 で検索してみると上から 6 番目に問題の数列があった，というわけです．

この回答へのお礼

　ありがとうございました。oeis見ましたがたくさんの数列あるんですね。これからも参考になりそうです。どうもでした。

お礼日時：2013/03/06 10:49

No.2 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/03/05 23:59

漸化式は正しいと思います。

が一般項は求まりませんでした。ギブアップです。

この回答へのお礼

　ありがとうございました。最初に回答していただいた方が紹介してくださったサイトを今見ていますが、やはり難しそうです。この漸化式は解けないのかもしれません。とにかくありがとうございました。

お礼日時：2013/03/06 00:16

No.1 回答者： ask-it-aurora 回答日時： 2013/03/05 23:07

とりあえずリンク．これには閉じた式が載ってなくて漸近的に

a(n) ~ sqrt(2)*exp(3/4-n)*n^n*(1+O(1/n))
としか書いてないから難しそう（未解決問題？）．

参考URL：http://oeis.org/A002135

この回答への補足

　ところで、参考に教えていただきたいのですが、どうやってあのサイトを探されたのですか。

補足日時：2013/03/06 00:21

この回答へのお礼

　リンク先を教えていただきありがとうございました。英語に疎いのでまだ理解できませんでしたが、とても参考になりそうです。感謝します。

お礼日時：2013/03/05 23:47