等比数列の和について

簡単な質問ですみません。
等比数列の和の公式で、たとえばある等比数列の和をＳとして公比をｒとしたとき等比数列の和Ｓに公比を掛けて差（Ｓ－ｒＳ）をとるのですか？
なぜ差をとると等比数列の和になるのですか？公式を覚えてしまえば簡単なのですが・・・

すみませんがよろしくおねがいします。

No.4 ベストアンサー 回答者： j-mayol 回答日時： 2013/03/09 09:45

こうすることで初項と末項以外の項を消すことができるから。

この回答へのお礼

ありがとうございます。なんとなくわかった気がします

お礼日時：2013/06/22 06:20

No.5 回答者： naniwacchi 回答日時： 2013/03/09 12:03

こんにちわ。

確かにテクニックなところはありますね。
この方法自体は、一般項＝ (等差)×(等比)の形をした数列の和を求めるときにも使います。
an＝ (3n+ 1)* 2^nのような数列の和です。

いま考えている「公式」を少し違った角度から見ると、こんなこともわかります。
1+ r+ r^2+…+ r^(n-1)＝ (1- r^n)/(1- r)より
1- r^n＝ (1- r){ 1+ r+ r^2+…+ r^(n-1) }

rを xに置き換えると、
x^n- 1＝ (x- 1){ x^(n-1)+ x^(n-2)+…+ x+ 1 }

のようになり、因数分解できることがわかります。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
ちょっと難しいですがなんとか理解していきます

お礼日時：2013/06/22 06:19

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2013/03/09 08:18

等比数列の和の公式は

S=a(1-r^n)/(1-r)

よって

S-rS=a(1-r^n) (1)


>なぜ差をとると等比数列の和になるのですか？公式を覚えてしまえば簡単なのですが・・・

公式を使えば(1)のようになる。

質問が間違っているとしか言いようがない。

この回答へのお礼

なぜ質問がおかしいのですか？

お礼日時：2013/06/22 06:21

No.2 回答者： asuncion 回答日時： 2013/03/09 08:11

初項をa、公比をrとする。

このとき、
初項から第n項までは、a, ar, ar^2, ar^3, ... , ar^(n-1)となる。
S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^(n-1) …… (1)
テクニックとして、両辺にrをかける。
Sr = ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^(n-1) + ar^n …… (2)
(1)-(2)より、
S - Sr = a - ar^n
S(1 - r) = a(1 - r^n)
∴S = a(1 - r^n)/(1 - r)
ただし、r ≠ 1
r = 1のときは、S = na

この回答へのお礼

テクニックは必要なのですね。。
ありがとうございました

お礼日時：2013/06/22 06:22

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2013/03/09 08:10

この数列の項をａｎで表わします。

この数列の和は
Ｓ＝ａ１＋ａ２＋・・・・＋ａｎ
であり、
ｒＳ＝ａ２＋ａ３＋・・・・＋ａ（ｎ＋１）
となります。両者の差をとると
Ｓ－ｒＳ＝Ｓ（１－ｒ）＝ａ１－ａ（ｎ＋１）
よって
Ｓ＝（ａ１－ａ（ｎ＋１））／（１－ｒ）
となり、和の公式を導くことができます。
「なぜ」というより計算上の工夫といったところでしょうか。

この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。
差を使ってというところはテクニックなんですね。

ありがとうございました。

お礼日時：2013/03/09 14:52