99×19＝18×100+9×9の変形の過程

がわかりません。教えて頂ければ幸いです。

似たような問題で、63×43＝27×100+3×3＝2709もお願い出来れば幸いです。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/03/10 04:35

ANo2の前半の計算過程で

100位の桁の計算中の「＋1」は不要かと思います。
最後の行のすぐ上の行から最後の行に移行するところで
なぜか正しい計算式に戻っています。

てな訳で、修正も兼ねて、回答をしておきます。
確認してみて下さい。

■99×19＝18×100＋9×9
「10位の桁の和が10」であることと
「1位の桁が同じ」であること
を利用した計算法になります。

99×19
＝(90＋9)×(10＋9)
10位と1位の桁を分けてやります。

＝90×10＋(9＋1)×10×9＋9×9
(10位の桁同士の掛け算)＋(10位と1位の桁の掛け算の項)
＋(1位同士の桁の掛け算)
に展開してやります。

＝9×1×100＋10×10×9＋9×9
(100位の掛け算項)＋(10位の掛け算項)＋(1位の掛け算項)
10位の桁の和が10になっている→100位の項になる。

＝9×100＋9×100＋9×9
10位の掛け算項が100位になって

＝(9＋9)×100＋9×9
100位の桁として100位の桁に加算して

＝18×100＋9×9
100位の桁が加算の結果18になった。

＝1800＋81
(100位の項)の下2桁が「00」、これを1位の桁の掛け算項「81」で置き換えて

＝1881

このような一連の計算過程を頭の中で（暗算で）やるのがご質問の計算法になります。

■63×43＝27×100+3×3＝2709
についても上記と同様な（暗算の）計算過程をやって計算する訳です。
63×43
＝(24+3)×100+3×3
＝27×100+3×3
＝2700＋09（下２桁を9で置き換える意味で09と書く。）
＝2709

No.5 回答者： tmpname 回答日時： 2013/03/10 19:26

> ANo2の前半の計算過程で

> 100位の桁の計算中の「＋1」は不要かと思います。

「+1」でなくて、きちんと「* 1」と書いてあるように見えるが...

No.4 回答者： spring135 回答日時： 2013/03/10 05:07

X=(10a+p)(10b+p)

ただし,a,b,pは1ケタの整数,a+b=10

という条件下の変形ですね。

X=100ab+10p(a+b)+p^2
=100ab+100p+p^2
=100(ab+p)+p^2

どれだけ組み合わせがあるかというと

a,b
1,9
2,8
3,7
4,6
5,5
(対称性を考えるとたとえばa=6,b=4はa=4,b=6と同じ

これとは独立にP＝1,2,....9

したがって45通り


たとえば

55×55＝100×(5×5+5)+5×5＝100×30+25


この手の問題は紀元前のインドや10世紀前後のアラビヤあたりで出来上がってい他のでしょうね。それともフェニキアあたりかな。

No.2 回答者： tmpname 回答日時： 2013/03/10 02:38

普通に筆算（というより分配法則）で計算しているだけです。

「一の位が同じで、十の位の和が10」になっているため、まあ
なるほどね、という変形をしていますが、
普通に筆算（分配法則）で計算すれば良いです。

＊99 * 19 = (90 + 9) * (10 + 9)
= 9 * 9 + 90 * 9 + 9 * 10 + 90 * 10 [分配法則または筆算]
= (9 * 1) * 100 + 9 * (90 + 10) + 9 * 9
[(9 * 1) * 100の部分は10の位同士のかけ算
9 * 9の部分は1の位同士のかけ算
残り 10の位と1の位との掛け算は、一の位が同じなので
分配法則を使ってまとめる]
= (9 * 1) * 100 + 9 * 100 + 9 * 9
= (9 * 1 + 9) * 100 + 9 * 9
= 18 * 100 + 9 * 9

同様に
63 * 43 = (60 + 3) * (40 + 3)
= (6 * 4) * 100 + (60 + 40) * 3 + 3 * 3
= (6 * 4) * 100 + 100 * 3 + 3 * 3
= (6 * 4 + 3) * 100 + 3 * 3
= 27 * 100 + 3 * 3

まあ、要は
(a * 10 + b) * [(10-a) * 10 + b]
= [ a(10-a) + b] * 100 + b* b
という訳ですね。

似たようなパターンで、「十の位が同じで一の位の和が10」という
パターンがあります。例えば
63 * 67 = [6 * (6 + 1)] * 100 + 3 * 7 = 4221とか。

63 * 67 = 60 * 60 + 60 * 3 + 60 * 7 + 3 * 7
= 60 * [60 + (3 + 7)] + 3 * 7

No.1 回答者： 1582 回答日時： 2013/03/10 00:39

99x18+99x1

99*18+18+81

100*18+81

100*18+9*9