中学（算数？）数学 場合の数 最短距離問題の考え

場合の数の最短距離問題の考え方が全くわかりません。
下の問題なんですが、解答解説を読んでもちんぷんかんぷんです。
[問題（画像下）]
右図において、aからbまで行く時の、最短となる進み方は何通りあるか。
（1）aからbへ直接行く場合は何通りですか
（2）点pを必ず通って行く場合は何通りですか
[解答]
（1）最短距離ゆえ、横に3、縦に4で合計7本の棒を考え、このうち3本横と考えれば残りは自動的に縦に4本と決定。よって横3本の決め方は、棒に区別はないのでダブりを考え7×6×5÷（3×2×1）=35通り。
（2）同様に考え、a→p→bの順に計算する。

（1）だけでも良いので、どなたか噛み砕いて教えてください。よろしくお願いします。

No.1 回答者： princelilac 回答日時： 2013/04/14 18:43

(1)は考え方も式も合っていると思います。

↑４つ、→３つ、同じものを含む７つのものの順列と考えます。

※参考書ではよく、「Aが４つ、Bが３つ」など、アルファベットや数字を並べ替える問題が出されています。

(2)同じ考えでいいです。
p への行き方は、↑２つ、→１つなので、3×2÷（2×1）=3 …(1)
b への行き方は、↑２つ、→２つなので、4×3÷（2×1）=6 …(2)
これが連続して起こるので、3×6=18 通り

No.2 ベストアンサー 回答者： soixante 回答日時： 2013/04/14 19:35

１）AからBへ行く方法として、7回の動きがあるのは分かりますね。

例えば、縦をT、横をYと示すとすれば、

TTTTYYY という動き方もあれば、
YYYTTTT だったり、TYTYTYT　かもしれません。

要するに、Tを４つ、Yを３つ並べる方法が何通りあるかを考えます。

７つのマスがあるとして、そこにYを3つ並べる方法は何通りあるでしょう？
（＝Yを３つ置ければ、あとは自動的にTとなるので考えなくともよい）

まっさらな状態から、Yの一つ目を置くとしましょう。
置き方は？　当然7通り。

では、2つ目のYを置きましょうか。もうすでに一つ目のYが置かれていますから、
空白は6つです。したがって6通り。

では、3つ目のYを置くとすれば、5通り。

ここまでで、7×6×5　通り、となります。

しかし。

３つあるYの区別はありませんので、この重複を除外せねばなりません。

３つあるYを区別のために、あえて、Y1,Y2,Y3とするならば、これの並べ方は、
Y1,Y2,Y3
Y1,Y3,Y2
Y2,Y1,Y3
Y2,Y3,Y1
Y3,Y1,Y2
Y3,Y2,Y1
の6通りがあります。
この考え方も同じように、3つのマスにY1,Y2,Y3を並べる方法を考えればいいです。
1マス目には、Y1,Y2,Y3の3通りがあり、
1マス目が決まれば、2マス目には残りの2通り、
１，２マス目が決まれば、3マス目は自動的に決まる（1通り）
なので、3×2×1＝6

というわけで、
（7*6*5）÷（3*2*1）　となっているのです。

高校数学を習ってれば、7C3　という形ですぐ出るんですけどね。

ちなみに、冒頭でYを3つ並べる方法で計算しましたが、
Tを4つ並べる並べ方でも同じ答えとなります。
（7*6*5*4) ÷　（4*3*2*1)

2) これは上の発展形。A-P と　P-B　で分けて考えましょう。