偏導関数が分かりません

次の関数の偏導関数fx・fyを求めなさい。

（1）ｆ（ｘ、ｙ）＝ｘ＾3ｙ+ｙ＾2

（2）ｆ（ｘ、ｙ）＝ｘsin(xy)

(3)ｆ（ｘ、ｙ）＝x^2e-y^2

私自身偏導関数をまったく理解してないので解き方も含めてご教授頂けるとありがたいです。
宜しくお願い致します。

No.4 回答者： hugen 回答日時： 2013/04/15 20:45

http://www.core.kochi-tech.ac.jp/m_inoue/work/wo …

参考URL：http://www.core.kochi-tech.ac.jp/m_inoue/work/wo …

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/04/15 13:59

∂(x^3y+y^2)/∂y と書くと、何だか難しそうですが、

d(a^3y+y^2)/dy なら、簡単ですよね。
固定するほうの変数名が x でも、a でも、同じこと。
多変数関数の場合、偏微分のほうがむしろ普通の微分で、
全微分や常微分のほうが、特殊な概念なんです。
高校で習ったとおりの方法で微分したらいいです。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/04/15 13:05

>次の関数の偏導関数fx・fyを求めなさい。

「fx・fy」と書くとfxとfyの積に間違えられるので
「fx、fy」（句読点）、「fx，fy」（コンマ）で区切って描くようにしましょう。または「fxとfy」、「fxおよびfy」と書いても良いかと思います。

∂は入力しにくいのでdで代用させて頂きます。
偏微分は
微分する変数以外の変数は定数と見倣して、
微分する変数だけで微分します。

(1)f(x,y)=(x^3)y+y^2

fx(x,y)=d((x^3)y+y^2)/dx=d((x^3)y)/dx+d(y^2)/dx
=yd(x^3)/dx+0=y(3x^2)
=3(x^2)y
fy(x,y)=d((x^3)y+y^2)/dy=d((x^3)y)/dy+d(y^2)/dy
=(x^3)dy/dy+2y
=x^3 +2y

(2)f(x,y)=x*sin(xy)

fx(x,y)=(dx/dx)*sin(xy)+x*d(sin(xy))/dx
=1*sin(xy)+x*cos(xy)*(d(xy)/dx)
=sin(xy)+x*cos(xy)*y(dx/dx)
=sin(xy)+xy*cos(xy)

fy=x*d(sin(xy))/dy=x*cos(xy)(d(xy)/dy)
=x*cos(xy)*x(dy/dy)
=(x^2)cos(xy)*1
=(x^2)cos(xy)

(3)f(x,y)=(x^2)*e(-y^2)
eの指数部が2文字以上になる場合は( )で囲むようにしましょう。
「e-y^2」→「e(-y^2)」

fx(x,y)=(d(x^2)/dx)*e(-y^2)
=2x*e^(-y^2)

fy(x,y)=(x^2)d(e(-y^2))/dy=(x^2)(e^(-y^2))d(-y^2)/dy
=(x^2)(e^(-y^2))*(-2y)
=-2(x^2)y*e^(-y^2)

No.1 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/04/15 09:31

＞偏導関数の詳細は次のサイトなどで勉強されるといいでしょう。

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun …
簡単に云えば、偏導関数f_x(x,y)とはf(x,y)をxで偏微分した関数
すなわち∂f/∂xであり、f_y(x,y)は∂f/∂yです。
（1）ｆ（ｘ、ｙ）＝ｘ＾3ｙ+ｙ＾2
∂f/∂x=3x^2y(xで偏微分する際はyを定数と考えてxで微分します。以下同じ)
∂f/∂y=x^3+2y(yで偏微分する際はxを定数と考えてyで微分します。以下同じ)
（2）ｆ（ｘ、ｙ）＝ｘsin(xy)
∂f/∂x=sin(xy)+xycos(xy)
∂f/∂y=x^2cos(xy)
(3)ｆ（ｘ、ｙ）＝x^2e-y^2
∂f/∂x=2xe
∂f/∂y=-2y