三角関数の合成
π/6≦θ≦5/6πのとき、sin{2θ-(π/6)}-cos2θ の最大値と最小値を求めよと言う問題があります。
この式が √3/2 sin2θ-3/2 cos2θ という式になるのはわかりました。でもここからどのようにして合成するのでしょうか?
三角関数の合成の式が√(a^2+b^2) sin(θ+α) なので√3 sin(2θ+α) になるのはわかるのですがどうやってαの部分を出すのかわかりません… 図を書いて求めようとしたのですがさっぱりで…
どなたか教えてください。よろしくお願いしますm(__)m
No.6ベストアンサー
- 回答日時:
√3sin(2θ+α) = √3(sin2θcosα + cos2θsinα)
= √3/2sin2θ - 3/2cos2θ
から
cosα=1/2, sinα=-√3/2
となるから、α=-π/3 になります。
従って、
与式 = √3sin(2θ-π/3)
従って、この式は√3sinθの関数の周期を2倍(2θ)にして、θの+方向にπ/3だけ並行移動したものになります。
従って、この図のπ/6≦θ≦5/6πでの最大値、最小値を探すことになります。
最小値は、 θ= 5/6π の時で、-3/2
最大値は、 θ= 5/12π の時で、√3
になります。
No.5
- 回答日時:
すいません。
どうやら一人で突っ走ってしまったようなので
謝罪の意をこめて以下、変形の過程を記しておきます。
(√3/2) sin(2θ)-(3/2)cos(2θ)
=(√3)[(1/2)sin(2θ)-{(√3)/2}cos(2θ)]
=(√3){cos(π/3)・sin(2θ)-sin(π/3)・cos(2θ)}
=(√3){sin(2θ)・cos(π/3)-cos(2θ)・sin(π/3)}
=(√3)sin{2θ-(π/3)}
大変失礼しました。
No.4
- 回答日時:
じゃあ別の方向からのヒント:
最終的に
√3 sin(2θ+α)
の形にしたいんだよね。
sin(2θ+α)= ※ …(2)
加法定理を適用すると※の部分はどんな式になる?
さっきの(1)式を√3でくくったカッコの中身と(2)式の※の部分を
よくにらめっこしてごらん。
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