三次元空間上でベクトルが一次独立であるための条件

三次元空間上でベクトルが一次独立であるための条件

なんとなく気になったのですがご教授お願いします。三次元空間に存在する2つの直交するベクトルは一次独立なのでしょうか？
3つの直交するベクトルの場合もお願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： masa072 回答日時： 2013/07/18 08:11

2つのベクトルが平行でなく0でないという定義は何次元でも同じです。

垂直なら平行でも0でもないですね。
3つの場合は、例えばvec{a}とvec{b},vec{a}とvec{c}が直交しても、vec{b}とvec{c}が平行のことがありまあすよね。
vec{a}=(1,0,0),vec{b}=(0,1,0),vec{c}=(0,2,0)が一例です。
もちろん、3本全てが互いに直交していれば、任意の2つのベクトルが直交しており、一次独立の条件を満たします。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/07/18 14:55

直感的には明らかですが、

ベクトルを全てデカルト座標の位置ベクトルで、
ゼロベクトルでは直交できないので、全てゼロベクトルではないとすると、

2個の場合、一次従属だと2個のベクトルが同じ向きか反対の向きになって
互いに直交ちないので矛盾。なので一次独立。

3個の場合、一次従属だと2個のベクトルがなす平面や直線の中に3個目の
ベクトルがあることになり、3個目のベクトルが2個のベクトルがなす平面や
直線に対して直交しないので矛盾。なので一次独立。

＃あまり正確な表現ではないかも。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/07/17 23:28

空間が 3次元だろうと 1038次元だろうと, あるいはベクトルが 2本だろうと 726本だろうと「一次独立」の定義は同じ.

で何が問題になるのでしょうか?