No.2ベストアンサー
- 回答日時:
ikuzecia1918さん、こんばんは。
答えが正しいか不安ですが、一応解いてみます。
ポイントは、「点Pが辺OBを1:4に内分する」と「辺OA上の点QがAB=5PQを満たす」の2条件を、
「OP:OB=1:5」「PQ:BA=1:5」と読み替えて、「なんとなく相似っぽいなあ」と思えるかにありそうです。
まず、辺OA上に、OR:OA=1:5となる点Rをとります。
点Rの座標は(1/5,0)となります。
すると、⊿ORPと⊿OABは相似であり(∵2辺の比と間の角が等しい)、相似比は1:5なので
RP:AB=1:5となります。
従って、tがいかなる値のときも、点R(1/5,0)は点Qの候補の一つであることがわかります。
次に、点Qがx軸上に(辺OAの外側も含めて)2点存在するための条件について考えます。
この場合の点Qを点Q'とすると(∵辺OA上にない場合も含むため)、
点Q'が1つしか存在しない(点Rのみ)場合とは、PR⊥OAのときとなります。
これは、例えば点Pを中心として半径1/5×ABとなる円弧をx軸に向かって描いた場合を想像すると、
円弧と直線の交点は最大数2、最小数0であり、
交点が1つになるのは直線(x軸)が円弧と接する場合であることから理解できると思います。
このとき、相似の関係からAB⊥OAであり、従ってt=1のときに点Q'は1つしか存在しないことがわかります。
すなわち、t≠1のとき、点Q'は2つ存在することになります。
そこで今度は、辺OA上に点Qが2つ存在するための条件について考えます。
t>1のときとt<1のときで図の形が変わってくるため、場合分けします。
ここで準備作業として、2つ存在する点Q'をQ1(q1,0),Q2(q2,0) (ただしq1<q2)と表すことにします。
また、点Bのx座標がtなので、点Pのx座標はt/5です。
(∵点Bおよび点Pからx軸に垂線を下ろしてできる2つの直角三角形について、
相似であることと相似比がOP:OB=1:5であることから)
そして、点Rからx軸に下ろした垂線とx軸との交点を点H(t/5,0)とおくと、
点Q1と点Q2の関係は、点Hから等距離にあるx軸上の2点であることがわかります。
(∵PQ1=PQ2より、2つの直角三角形PHQ1とPHQ2は合同だから)
(1)t>1の場合
t/5>1/5より、点Rは点Q1の方であることがわかります。
そこで、点Q2が辺OA上にあるようなtの値を求めればよいことになります。
点Q2のx座標の値q2は、点R、点H、点Q2の関係を用いて
t/5-1/5=q2-t/5⇔q2=(2t-1)/5
そして、点q2が点Aよりも左側にあればよいので
q2=(2t-1)/5≦1⇔t≦3
∴1<t≦3
(2)0<t<1の場合
t/5<1/5より、点Rは点Q2の方であり、点Q1のx座標の値q1は点R、点H、点Q1の関係を用いて
t/5-q1=1/5-t/5⇔q1=(2t-1)/5
そして、点q1が原点Oよりも右側にあればよいので
q1≧0⇔t≧1/2
∴1/2≦t<1
以上より、
1/2≦t≦3(ただしt≠1)
となると思います。
間違ってたらすみません。
No.4
- 回答日時:
あ、ホントだ。
√((t-1)2乗+u2乗) ≦ 5√((t/5)2乗+(u/5)2乗)
から
(t-1)2乗 ≦ t2乗
が出て、
t ≧ 1/2
もついてくるんだった。
No.1
- 回答日時:
問題の条件は、
P から x軸へ降ろした垂線の足を H として、
AB > 5PH,
AB ≦ 5PO,
AB ≦ 5PA
であること。
B の座標を (t,u) と置けば、
√((t-1)2乗+u2乗) > 5(u/5),
√((t-1)2乗+u2乗) ≦ 5√((t/5)2乗+(u/5)2乗),
√((t-1)2乗+u2乗) ≦ 5√((t/5-1)2乗+(u/5)2乗)
と書ける。
展開整理すると、
(t-1)2乗 > 0,
(t-1)2乗 ≦ (t-5)2乗
となるから、
t ≦ 3 かつ t ≠ 1 が答え。
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