No.3ベストアンサー
- 回答日時:
すでに答えがでていますので以下は蛇足の参考です。
演算子A,Bがエルミートである条件はそれぞれのエルミート共役演算子をA^†,B^†とすると
A=A^†,B=B^† (1)
(AB)^†=B^†A^† (2)
が成り立つことですね。そこで正準交換関係
[A,B]=iC (3)
の両辺の複素共役をとると,まず左辺は
[A,B]^†=(AB)^†-(BA)^†
=B^†A^†-A^†B^† ・・・(2)を利用
=BA-AB ・・・(1)を利用
=-(AB-BA)
=-[A,B]
=-iC (4)
となります。次に右辺は
(iC)^†=-iC^† (5)
となる。今,両辺は等しいから-iC=-iC^†が成り立ちます。つまりC=C^†の関係が成り立ち,これはCがエルミート演算子であることを表わしています。
No.2
- 回答日時:
C=-i[A,B]なので,
C*=(-i[A,B])*=i{(AB)*-(BA)*}=i(B*A*-A*B*)=i(BA-AB)=-i[A,B}=C
と計算すればよいです。*は共役演算子を表します。#1さんと記号の使い方が違っててすみません。
No.1
- 回答日時:
面倒なので,^は省略します.
以下*は共役複素数,†はエルミート共役演算子を表すものとします.
<φ|iC|ψ>*
=<φ|([A, B]|ψ>*
=<φ|AB-BA|ψ>*
=<φ|AB|ψ>*-<φ|BA|ψ>*
=<φ|B†A†|ψ>-<φ|A†B†|ψ>
=<φ|BA|ψ>-<φ|AB|ψ> (∵ A,Bはエルミート)
=<φ|BA-AB|ψ>
=<φ|-[A, B]|ψ>
=<φ|-iC|ψ>
∴ (iC)†=-iC, -iC†=-iC
したがって,
C†=Cとなる.すなわち,Cはエルミート演算子である.
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