電場について

テキストに以下のような記述がありましたが、「電荷分布の対称性から、電気力線は円柱面に垂直」がどういうことなのか理解できません。わかりやすく教えてください。お願いします。

無限に長い円柱に一様に分布している電荷のつくる電場
電荷分布の対称性から、電気力線は円柱面に垂直で、放射状に一様に分布していることが導かれる。円柱と同じ軸をもつ半径をr、高さLの円筒を考えて、ガウスの法則を適用する。円筒の底面は電場に平行なので、二つの底面を電気力線は通り抜けない。側面積Aは2πrLなので、円筒の中の全電荷をQとし、円筒中心軸から距離rの点の電場の強さをE(r)とすると、ガウスの法則は
ΩE=EA=2πrLE(r)=Q/ε0
したがって
E(r)=1/2πε0×Q/L/r=λ/2πε0r
となる。
r>Rの場合、λ=Q/Lは円柱の単位長さあたりの電荷である。

No.1 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/12/11 22:34

>…「電荷分布の対称性から、電気力線は円柱面に垂直」がどういうことなのか…

円柱面外の点 P における電場ベクトルは、円柱面に均一分布する電荷から出発して点 P を通る直線の向きのベクトルを想定し、それを円柱面にわたり積分して得られる。
想定の円柱は無限長だから、点 P を含み円柱軸に直交する平面に対して両方向に対称。
…なので積分結果の電場ベクトルは、軸に平行な両方向成分が相殺しあい、軸を通りかつ軸に直交する直線上に乗る「はず」。(「はず」というのは、実際に積分せずとも判る、という意味です)
さらに無限長の想定から、軸から同じ距離にある点同士では、電場ベクトルの大きさも同じ「はず」。
　　↓

>電荷分布の対称性から、電気力線は円柱面に垂直で、放射状に一様に分布していることが導かれる。

あとは、ご質問の引用でお判りでしょう。

>円柱と同じ軸をもつ半径をr、高さLの円筒を考えて、ガウスの法則を適用する。円筒の底面は電場に平行なので、二つの底面を電気力線は通り抜けない。

　　

この回答へのお礼

イメージが少しつかめました。ありがとうございます。

お礼日時：2013/12/26 16:33

No.2 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/12/12 07:30

前回の補足。

>点 P を含み円柱軸に直交する平面に対して両方向に対称。
　　　　　　　　　↑
この平面を P1 とでもしましょうか。
平面 P1 に対する対称性により、電場ベクトルの軸に平行な両方向の成分ペアが相殺しあう。

さらに、点 P と円柱軸とを含む平面 P2 に対する対称性もあります。
これにより、平面 P2 に直交する両方向の成分ペアが相殺しあう。

二つの対称性の結果、点 P における電場ベクトルは、軸を通りかつ軸に直交する直線上に乗る「はず」。

　　　　

No.3 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2013/12/12 15:37

ここ読め、ニャンニャン！！

http://homepage2.nifty.com/eman/electromag/linea …

本当は、こうした細かい議論が必要。

さらに、
学校の先生は、
「《無限長》だから」というオマジナイ（お呪い）を唱えて、
学生を煙にまくのであった。

質問文中に、
「円筒の底面は電場に平行なので、二つの底面を電気力線は通り抜けない。」
とありますが、
はたして、そんな電気力線があるのかどうか・・・。
　（電気力線の大きさ？がゼロであったなら、それがあると言うのか、言わないのか・・・）
そんなものがあったら、ガウスの法則から、
　E(r)=1/2πε0×Q/L/r=λ/2πε0r
になるのか、どうか・・・。

この回答へのお礼

なんとなくイメージがつかめました。
ありがとうございます。

お礼日時：2013/12/26 16:30

No.4 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2013/12/12 15:52

あっ、ゴメンなさい。

わたし、少し、勘違いをしていたみたいです。
「長さ方向に沿う電気力線が存在する」と勘違いしていました。

NO３の
～～～～～～～
質問文中に、
「円筒の底面は電場に平行なので、二つの底面を電気力線は通り抜けない。」
とありますが、
はたして、そんな電気力線があるのかどうか・・・。
　（電気力線の大きさ？がゼロであったなら、それがあると言うのか、言わないのか・・・）
そんなものがあったら、ガウスの法則から、
　E(r)=1/2πε0×Q/L/r=λ/2πε0r
になるのか、どうか・・・。
～～～～～～～
ここの部分は、無視してください。

テキストは、「このような電気力線はない」と言っているんですね。
有限長の線電荷に囚われ過ぎていたようです、わたし（ポリポリ）。

底面に対して電場が平行な時、《外積》がゼロになるんで、その面積分はゼロになると言っているんですね。