No.4
- 回答日時:
< ANo.2
まずは、錯誤訂正したつもりの再掲です。
△ABC 内の点 O を原点 [0, 0] とした直交座標を想定。
A[x1, y1], B[x2, y2], C[x3, y3] とでもする。
以下、A, B, C と略記する。
さしあたり、予備命題をいくつか。
・△OAB などの面積 Sab は?
2Sab = x1y2 - x2y1 など。
・rA + sB + tC = 0 の非自明係数 {r, s, t} は?
たとえば t=1 として、
rA + sB = -C
つまり、
x1*r + x2*s = -x3
y1*r + y2*s = -y3
D = x1y2-y1x2≠0 ならば、
r = (x2y3-y2x3)/(x1y2-y1x2)
s = (x3y1-y3x1)/(x1y2-y1x2)
↓
これの「素ベクトル版」は手強いようですネ。
↓
たとえば、
・△OAB の面積 Sab は?
2Sab = √{ (|A||B|)^2 - (A・B)^2}
これは、2 次元のままなら A-B 同士の射影関係 (内積) を使って得られる。
3 次元の z-平面にあるとして「外積」勘定する手もあるが、それで推論が楽になるか否かは未詳。
・rA + sB + tC = 0 の非自明係数 {r, s, t} は?
たとえば t=1 として、
rA + sB = -C
このあと「直交座標」に頼らず「素ベクトル」で推論するには、{A, B ,C} との「内積」でも想定して {r, s} を推算するのだろう。
タイム・アップでなかなか手をさけず、先が読めませんけど…ご一報だけ。
No.2
- 回答日時:
△ABC 内の点 O を原点 [0, 0] とした直交座標を想定。
A[x1, y1], B[x2, y2], C[x3, y3] とでもする。
以下、A, B, C と略記することあり。
さしあたり、予備命題をいくつか (吟味してみて) 。
・△OAB などの面積 Sab は?
2Sab = x1y2 - x2y1 など。
・rA + sB + tC = 0 の非自明係数 {r, s, t} は?
たとえば t=1 として、
rA + sB = C
つまり、
x1*r + x2*s = -x3
y1*r + y2*s = -y3
D = x1y2-y1x2≠0 ならば、
r = (x2y3-y2x3)/(x1y2-y1x2)
s = (x3y1-y3x1)/(x1y2-y1x2)
このくらいの準備あれば、道筋見えてきませんか?
No.1
- 回答日時:
何を考えどう進めてどこで困っている?
この回答への補足
1.三角形ABCが存在できる∧その内部に点Oが存在する∧△OBC:△OCA:△OAB=x:y:z
→
xOA+yOB+zOC=0
は、ベクトルOA,OB,OCをベクトルABとベクトルACで表し、和が零ベクトルになるということを示す
という方針で考えました
AOの延長とBCの交点をDとすし
△OAC:△OAB=y:zから△ADC:△DABの比をもとめ
そこからBD:DCの比を求めました
後はAOとODの長さの比を求めればベクトルOAがベクトルABとベクトルACで表せるのですが
ここでAOとODの長さの比が求められずつまってしまいました。
(ベクトルOB,OCに関しても同じ手順)
2.三角形ABCが存在できる∧その内部に点Oが存在する∧△OBC:△OCA:△OAB=x:y:z
←
xOA+yOB+zOC=0
ベクトルをAを始点とした形で表し、それによって点Oの存在位置を示し
そこから面積比を求めようという方針で考え、式をいろいろ変形してみましたが
方針をうまく実行できませんでした
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