No.1ベストアンサー
- 回答日時:
微分方程式を立てて解く必要があります。
質問からだけですと回路がはっきりしませんが、
例えばCとRが直列で、Cの初期状態は電荷0(両端の電圧0)
この直列回路のR側の端に、C側を基準に、
時刻0より前は0V、時刻0以降一定電圧V0を印加した場合を考えてみます。
簡単な線形方程式ですから、私は演算子法をお勧めします。
もちろんラプラス変換などでも結構です。
微分方程式は、
Cに蓄えられた電荷をQ、CとRの接続点の電圧をVとすると、
R両端の電圧は
(dQ/dt)R
C両端電圧は
Q/C
です。
これより時刻0で下記の微分方程式が成り立ちます。
V0=(dQ/dt)R+Q/C
以下演算子法でこれを解きます。
まず
(dQ/dt)R+Q/C=0
の一般解を求めます。
(RD+1/C)Q=0
D=-1/CR
Q=A×EXP((-1/CR)t)
但しAは積分定数
次に
V0=(dQ/dt)R+Q/C
の特殊解ですが、
Q=CV0
結局
V=(dQ/dt)R+Q/C
の一般解は
Q=A×EXP((-1/CR)t)+CV0
境界条件として、
t=0でQ=0
より、
0=A+CV0
A=-CV0
Q=A×EXP((-1/CR)t)+CV0
=CV0(1-EXP((-1/CR)t))
これより
Q/C=V=V0(1-EXP((-1/CR)t))
これで時刻と電圧の関係
V=V0(1-EXP((-1/CR)t))
が得られました。
ここで
V=V0(1-EXP((-1/CR)t))
の
t=0での接線を考えます。
dV/dt=V0(1/CR)EXP((-1/CR)t)
時刻t=0ではV0(1/CR)
結局t=0での接線は
V=V0(1/CR)t
となります。
これがV=V0と交わるのは、
V0(1/CR)t=V0を解き、
t=CR
が得られます。
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