ベクトルの内積は外積のトレースである

　
これは正しいですか。
正しければその意味を説明して下さい。
　

No.4 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2014/06/30 11:49

ベクトルの内積は外積のトレースである

質問者の言っている外積は正しくはテンソル積といいます。

ベクトルの外積は正しくはベクトルを生むだけでトレース（対角項の和）なるものは定義できません。


まあ、実用的な3次元でやりましょう。x,y,z方向の単位ベクトルをi↑,j↑,k↑とすると

ベクトルP↑=pxi↑+pyj↑+pzk↑

ベクトルQ↑=qxi↑+qyj↑+qzk↑

内積IP=P↑・Q↑＝pxqx+pyqy+pzqz

内積は横ベクトル×縦ベクトルで作るスカラーです。

テンソル積は縦ベクトル×横ベクトルで作る2階のテンソルです。縦横に３×３の９個成分を持つ量です。

ベクトルの上位の構造を持つ量です。

記号は丸の中に×を書きますがこのサイトでは出ないようなので◎で代用します。

テンソル積TP＝P↑◎Q↑=(T(i,j))

T(1,1)=pxqx, T(1,2)=pxqy, T(1,3)=pxqz

T(2,1)=pyqx, T(2,2)=pyqy, T(2,3)=pyqz

T(3,1)=pzqx, T(3,2)=pzqy, T(3,3)=pzqz

trace(TP)=pxqx+pyqy+pzqz=P↑・Q↑＝IP

つまり質問はテンソル積を用いることにより正しいことが証明されます。

この回答へのお礼

　
なるほど、よく分かりました。

つまりベクトルには、内積と外積とテンソル積の３つがあるのですね。

だから質問文は正しくは「ベクトルの内積はテンソル積のトレースである」とすればよかったのですね。

ありがとうございました。
　

お礼日時：2014/06/30 12:13

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/06/30 12:39

＞(1, 1, 1) と (1, 1, 1)を外に開いて出来る行列

ひょっとしてディアドのこと（2つのベクトルから作った2階テンソル=正方行列）？

((a, b, c)の転置)(d, e, f) で得られる正方行列のトレースは
内積です。ディアドと外積は全く別物です。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/06/30 11:25

実例

外積 (a, b, c) x (d, e, f) = (bf-ce, cd-af, ae-bf)
内積 (a, b, c) ・ (d, e, f) = ad + be + cf

(1, 1, 1) x (1, 1, 1) = (0, 0, 0)

(1, 1, 1) ・ (1, 1, 1) = 3

行列がどこにも出てきませんよね？

この回答へのお礼

　
＞外積 (a, b, c) x (d, e, f) = (bf-ce, cd-af, ae-bf)

(1, 1, 1) と (1, 1, 1)を外に開いて出来る行列、

　１　１　１
　１　１　１
　１　１　１

のトレースは３であり、内積の値３に等しくなるのはなんで？
　

お礼日時：2014/06/30 11:36

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/06/29 23:46

ベクトルにトレースなんてないっしょ。

この回答へのお礼

　
ベクトルの内積は２つのベクトルを内側に閉じて掛け算するからスカラーになる。
ベクトルの外積は２つのベクトルを外側に開いて直角にし、出きた行列の対角成分になる。
そしてその対角成分（外積）の対角和（トレース）が内積に等しい。

およそこんな感じなのですが、いかがでしょうか。
　
　

お礼日時：2014/06/30 11:07

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2014/06/29 23:10

正しくないです。

この回答へのお礼

　
ベクトルの内積は２つのベクトルを内側に閉じて掛け算するからスカラーになる。
ベクトルの外積は２つのベクトルを外側に開いて直角にし、出きた行列の対角成分になる。
そしてその対角成分（外積）の対角和（トレース）が内積に等しい。

およそこんな感じなのですが、いかがでしょうか。
　

お礼日時：2014/06/30 11:08