No.2ベストアンサー
- 回答日時:
ウです。
(a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2^c^2+c^2a^2)・・・(1)
である。
ここで、
(ab+bc+ca)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2(ab^2c+abc^2+a^2bc)
=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)
なので、
a^2b^2+b^2^c^2+c^2a^2=(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)
となり、これを(1)に代入すると、
(a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2{(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)}
=a^4+b^4+c^4+2(ab+bc+ca)^2-4abc(a+b+c)・・・(2)
となる。
(2)に、
a^2+b^2+c^2=n
a^4+b^4+c^4=n
ab+bc+ca=(1/2)n^2-(1/2)n
abc=(1/6)n^3-(1/2)n^2+(1/3)n
a+b+c=n
を代入すると、
n^2=n+2{(1/2)n^2-(1/2)n}^2-4{(1/6)n^3-(1/2)n^2+(1/3)n}n
となり、これを整理すると、
n^4-6n^3+11n^2-6n=0
となる。
n^4-6n^3+11n^2-6n=n(n^3-6n^2+11n-6)
=n(n-1)(n^2-5n+6)
=n(n-1)(n-2)(n-3)
=0
なので、n=0,1,2,3・・・(答)
注:考えてみると、
・n=0というのは、a=b=c=0のとき
・n=1というのは、a,b,cのうち、1つが1、2つが0のとき
・n=2というのは、a,b,cのうち、2つが1、1つが0のとき
・n=3というのは、a=b=c=1のとき
ですね。
No.1
- 回答日時:
(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)
=(a^2+b^2+c^2)^2-2{(ab+bc+ca)^2-2(ab^2c+abc^2+a^2bc)}
=(a^2+b^2+c^2)^2-2{(ab+bc+ca)^2-2(a+b+c)abc)}・・・A
(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)をAに代入する
という感じかな?
最後まで計算してないけど
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