数学の問題

直角を挟む2辺の長さの和が20cmである
この直角三角形の面積の最大値を求めよ

答え
三角形の面をy㎠とすると、
y=1/2×x×(20-x)
=-1/2x^2+10x
ここまでは理解できたのですが、
次の答えの式
=-1/2(x-10)^2+50
がなぜこうなるのかわからないです汗
50はどこから来たのかなぜこの式になるのか教えてください

No.2 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2015/03/18 19:30

これが一般式 y = 　ax² + bx + c であらわせる二次方程式だということは判りますよね。

ここで、最も単純な二次方程式
y = x²
のグラフについて考えます。頂点は(0,0)で、xの値がそれより小さくても大きくてもyの値は大きくなる。下に凸な放物線

この時に
　y = x² + δ　　　⇒　　y - δ = x²
の式は、y = x²　のグラフをy軸方向に δ 移動したグラフだと判りますか?

次に、
　y = (x - β)²
今度は、y = x² の式をx軸方向に β 移動したグラフになりますね。xの値が　-β　のときにy=0になり頂点になる

さらに、
　y = αx²
今度は、y = x²のグラフを頂点そのままでy軸方向に（α倍）引き伸ばした形になる。αが1より小さいと縮むけど、α倍引き伸ばしたことに代わりはない。αが負の場合は天地が逆転して上に凸となる。

以上をまとめると
★重要
　y = ax² + bx + c のグラフを y = α(x - β) + δ に変形できれば、その式が、「y = x の式をx軸方向に β、y軸方向に δ 移動して、y軸方向に δ倍 伸ばしたグラフだということがわかる。
　これを平方完成という。

y = (1/2)x(20-x)　三角形の面積の式
展開すると
y = -(1/2)x² + 10x
★平方完成を行なう。
y = -(1/2){x² + 20x}　と考える。(x - A)² = x² - 2Ax + A²　より、x² - 2Ax部分だけ考える。
y = -(1/2){(x - 10)² + C}　Cはこの時点では不明
展開すると
y = -(1/2){(x² - 20x + 100 + C}
　= -(1/2)x² - 10x + 50 + (1/2)C
これと、
y = -(1/2)x² + 10x
を比較すると、Cは(-100)でなければならない。
よって、
y = -(1/2){(x² - 20x + 100 - 100}
　= -(1/2)(x - 10)² - (1/2)100
　= -(1/2)(x - 10)² + 50
すなわち
　y = ax²の式を x方向に　10ずらして、上に凸で、頂点の座標が( 10, 50)であることが判る。

【別解】　微分を使う・・・高校で学ぶ
y = -(1/2)x² + 10x
(微分して)傾きの式は
dy/dx = -x + 10
　0 = -x + 10　　傾き0のとき
　x = 10　頂点のx座標
代入して
y = -(1/2)(10)² + 10(10)
　= -50 + 100
　= 50　　頂点のy座標

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2015/03/18 16:31

「答の式」が、どうして答えになっているかわかりますか？　

　y=-1/2x^2+10x　　（１）

のグラフを書いて、ｙが最大になる x を求めようとしているのです。

　ところが、このままでは（１）の式のグラフがどんな形をしているか、ちょっとわかりづらいですよね。単なる二次曲線 y=ax^2+b なら良いのですが、「10x」という項があるので、分かりづらいです。
　ということで、「10x」を消して（１）を　y=aX^2+b という形に書き換えているのです。
　x^2 - 2Ax + A^2 = (x - A)^2 の関係を使います。

　y = -1/2x^2 + 10x
　　= -1/2 (x^2 - 20x +100 - 100) 　←ダミーの100と -100 を追加
　　= -1/2 (x^2 - 20x +100) + 50 　←50は、(-1/2)×(-100) です
　　= -1/2 (x - 10)^2 + 50

　つまり、X = x-10 と置換することにより

　y = -1/2X^2 + 50　　（２）

と書けました。これは、(X, y)＝(0, 50) を最大値とする、上に凸の放物線ですね。

　（２）は、X = x-10 ＝0　のときに最大値 50 になることが、このグラフからわかりますね。