お尋ねします。
「長方形ABCDの内部に、互いに外接する2円O、O2があって、円OはABとBCとに接し、円O2はADとDCとに接する。このとき2円の面積の和の最小値はいくらか。ただし、AB=8a、BC=9aとする。」
この問題解ける方がいたら教えていただけないでしょうか?
問題集には「π(2(x-5a/2)^2+25a^2/2)という解法になり、x=5/2aの時、最小値25aπ^2/2πとなる。」という答えが載っているんですが、私が解いたら「π(2x(x-5a)+25a^2/2)」という訳のわからない解法になってしまい、「X=5の時、最小値25aπ^2/2」・・・ん??・・というような結論に至ってしまいます。
数学が大の苦手なため、出来るだけ細かく教えていただけたらありがたいです。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
細かくとのご希望なので、長くなります。
円Oの中心をP,半径をx、円O2の中心をQ 半径をyとします。
点Pから辺CDと点Qから辺BCに垂線をおろし、その交点をRとします。
PRについて
辺PRを辺AB、辺CDに延ばし、その交点を各々E,Fとします。
このとき、E,P,R,Fは直線上にあり、かつ、EFとBCは平行です。
また、EFとAB、CBは各々直交(直角に交わる)します。
円OはABと接しているので、
EP=x
同様の考え方で
RF=y
また、BC=EFなので、
PR=EF-EP-RF
=BC-x-y
=9a-(x+y)
同様に、RQ=8a-(x+y)
PQは円Oと円O2を結んだ直線なので、
PQ=x+y
ここで、x+y=zとすると、三角形PQRの各辺の長さは
PR=9a-z
RQ=8a-z
PQ=z となります
三角形PQRは、PRとQRが直交するので直角三角形なので、
(イメージは各々の円の中心を結んだ線を斜辺とする直角三角形)
三平方の定理から
PQ^2=PR^2+RQ^2
z^2=(9a-z)^2+(8a-z)^2
これを展開して
z^2+34az+145a^2=0
(z-5a)(z-29a)=0
z=5a or 29a
zは長方形にあるで、 z<8a
故に
x+y=5a
y=-x+5a
2つの円の面積の和は、
Πx^2+Πy^2
=(x^2+y^2)Π
={x^2+(-x+5a)^2}Π
=(2x^2-10ax+25a^2)Π
=2{x^2-5ax+(25a^2)/2}Π
=2[x^2-5ax+{(25a^2)/4}+{(25a^2)/4}]Π
=2{(x-5a/2)^2}Π+2{(25a^2)/4}Π
=2{(x-5a/2)^2}Π+{(25a^2)/2}Π
この2次方程式では、
x=(5/2)aのとき
{(25a^2)/2}Πが最大値となります。
全角しか使えなかったのでわかりにくかったらごめんなさい。
あと、カテゴリが歴史なので、数学カテゴリにでも
投稿しなおしたほうがいいと思います。
(xの定義も書いたほうがいいよ)
ありがとうございます。
少し分からないところがあるんですが、
=2{x^2-5ax+(25a^2)/2}Π
=2[x^2-5ax+{(25a^2)/4}+{(25a^2)/4}]Πのところの(25a^2)/2が(25a^2)/4}+{(25a^2)/4になる原理が分からないです。
どうやって導き出すのでしょうか?
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