三角関数の複素フーリエ級数展開について

三角関数の複素フーリエ級数展開について質問させてください。
cos(x)を複素フーリエ展開すると係数はC(1)=C(-1)=1/2で、そのほかの係数は0になると思いますが、それを確認するために(1/2π)*∫(-π→π){cos(x)*e^(-inx)}dxを計算しました。
しかしn≠1のときは0だということが確認ましたが、n=1のときはCnを出すことができず、つまってしまいました(方程式の中でCnが消えてしまいます)。
どなたかうまく計算する方法を教えていただけると助かります。

また、もし可能であればsin(x)の計算方法も教えていただきたいです。

質問者からの補足コメント

• なのでn=-1のときも求まりません。すみません、記載を忘れておりました。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/06/11 00:36

No.4 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/06/14 00:05

まず, e^(ix) や e^(-ix) が微分方程式

d^2f/dx^2 + f = 0
の解になっていることに注意してください. その結果, f''(x) e^(ix) を部分積分すると 2回目の部分積分の結果
-f(x) e^(ix)
が表れてきます (e^(ix) を 2回微分するので -e^(ix) になる). ところが, この同じ微分方程式を cos x も満たします. つまり, cos x を 2回積分すると -cos x となります.

この 2つの効果を組合せると, cos x e^(ix) を部分積分したとき 2回目の部分積分でもとと同じ cos x e^(ix) が出てきてしまい両辺で相殺されるため積分が実行できなくなってしまいます.

同じ現象は, 例えば cosh x = [e^x + e^(-x)]/2 に対して cosh x e^x や cosh x e^(-ix) を積分するときにも現れます (同じように 2回部分積分したときにもとの関数が現れて相殺される). もっと極端には,
1 = e^x e^(-x)
を「部分積分」しても同じ問題に直面します.

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/06/11 14:08

「ただ矛盾が出るのは最後の(1-n^2)で割るときだけなのでそれまではnの一般の時の計算結果にn=1を代入するだけで成立しますよね

？」のところですが, 「それまで」がいつまでなのかわからないので, あなたが実際にした計算を「途中を省略せずに」最初から見せてもらえませんか?

この回答へのお礼

返答は遅れてしまい申し訳ありません。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
この回答の解き方でL=πと代入して解きました。

ただ、試行錯誤してみたところ、
Ｃn＝∫cos(x)exp(-inx)dx
のexp(-inx)dxを「cosnx-isinnxと展開したところ最後まで計算を行うことができました。
ただ、やはりなぜこうしなくては解けないのかイマイチ納得できません。。。

お礼日時：2015/06/13 23:14

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/06/11 02:18

そこにいくまでの手順を改めて確認してみてください. その式が出るということは, 積分を実行したときに

1/(n^2-1)
という因子が出てきてるということですよね. でも, この因子は n = ±1 に対して ∞ にふっとんじゃうから, 実は
その積分自体が n = ±1 に対しては適用できない
んです. あえていえば
x^n を積分すると x^(n+1)/(n+1) になるから x^(-1) を積分すると x^0/0 となる
といっているようなものです.

ということで, n = ±1 に対してはまじめに cos(x) e^(-ix) や cos(x) e^(ix) を定積分してください.

この回答へのお礼

度々の回答ありがとうございます。
はい、僕もそう思ったので真面目に計算してみたのですが、その計算のの結果、消えてしまうことが発覚したのです。
ただ矛盾が出るのは最後の(1-n^2)で割るときだけなのでそれまではnの一般の時の計算結果にn=1を代入するだけで成立しますよね？
それか計算方法が変わってくるのでしょうか...？

お礼日時：2015/06/11 11:09

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/06/11 00:25

その「方程式の中でCnが消えてしまいます」のところ, 具体的に式で「こうなった」って書けませんか?

ちなみに「n=1のときは」ってことは n=-1 のときはきちんとできてる?

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
最終的に「2π(1-n^2)Cn=ine^(inπ)-ine^(-inπ)」となり、右辺はsin(nπ)と変形できるのでnが整数のときは0、すなわちCn=0と求まります。
ただ、これはn≠1でCnが残っている場合のみの話であり、n=1のときは左辺が0で消えてしまうので求めることができません・・・。

お礼日時：2015/06/11 00:34