楕円の重積分（２）

SS_A(x^2+y^2)dxdy A:(x^2/4)+y^2=1

これを、まず、A:(x/2)^2+y^2=1と考えます。
次に、(x/2)=uとおいて、A':u^2+y^2=1と考えます。
すると、u=r*cosθ,y=r*sinθです。
0<=r<=1,0<=θ<=2πですので、与えられた式は、
SS_A'(x^2+y^2)dudy
=SS_A'(r^2)dudy
=SS_A'(r^2)rdrdθ
これを解いていくと、
(1/2)π
が出ました。

どうでしょうか？
添削をお願いします。

質問者からの補足コメント

• 

  自分の理解が間違っているかもしれないので補足します。
  
  1/2{∫∫_A (x^2+y^2) dxdy }
  
  なのですが、x=rcosθ、y=rsinθを代入して、
  (x^2+y^2)の部分が、r^2cos^2θ+r^2sin^2θになるので、
  r^2(con^2θ+sin^2θ)から、r^2が導けるのだと考えていました。
  しかしこの方法だと、御解説いただいた4u^2+y^2は、cos^2θが消えず、あまりうまい形にはなりません。
  
  やっぱり、自分が間違った理解をしているのでしょうか？
  もちろん、cos^2θが消えなくても、cos^2θの積分が1/2+(1/4sin)2θであることを利用すれば解けると思いますが。
  
  一度、ゴリゴリと倍角公式を使って計算してみようと思います。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/08/05 12:03

No.2 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2015/08/05 12:19

siegmund です．

∫∫_A (4u^2 + y^2) 2 du dy
から始めます．
対称性から
∫∫_A u^2 2 du dy
= ∫∫_A y^2 2 du dy
= (1/2) ∫∫_A (u^2 + y^2) 2 du dy
= (1/2) ∫∫_A r^2 2 du dy
です．
つまり，
∫∫_A (4u^2 + y^2) 2 du dy
= (5/2) ∫∫_A r^2 2 du dy
です．
これでθ積分を回避できます．

もちろん，対称性が悪ければ具体的にθ積分が必要で，
倍角公式でゴリゴリ(というほどの計算でもないが)できることは必要です．

> cos^2θの積分が1/2+(1/4sin)2θである

cos^2θの積分は θ/2+(1/4)sin2θですね．

No.1 回答者： siegmund 回答日時： 2015/08/05 11:07

siegmund です．

前にも書きましたが
∫∫_A(x^2+y^2)dxdy A:(x^2/4)+y^2≦1
ですね．
A は楕円の内部ということですよね．

x→u への変換，
(u,y)→(r,θ)への変換，
はよいですが，変数変換したのなら面積要素もヤコビアンに従って変換しないといけません．

x→u への変換で dx dy → 2 du dy，
(u,y)→(r,θ)への変換で du dy → r dr dθ
です．

それから，x→u への変換をしたのですから

∫∫_A (x^2+y^2) dxdy
= ∫∫_A (4u^2 + y^2) 2 du dy
です．

以下はご自分で．