定積分

定積分∫(0->∞)sinx/xdx　を解きたいのですが解りません

他にもある問題からガンマ関数、ベータ関数を使うっぽいのですがどうも思いつきません

どうやって解くのでしょうか

ちなみに複素積分とかからのアプローチは今回は無しなようです

No.3 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2015/08/26 11:12

物理学者の siegmund と申します．

複素積分の留数定理を使うのが最もよく知られた手法と思うのですが，
今回は複素積分は禁じ手らしいので別法を紹介します．

ちょっと考えると，
(1)　　∫(0->∞) sin(λx) dx　　(λ>0)
を求めて，両辺をλで積分すればよい(ちょうど 1/x が出るので)ように思えますが
残念ながらこの積分は確定値を持ちません．
いくら x が大きくなっても被積分関数は -1 から +1 の間を振動するだけですから．

で．ちょっと細工をして，収束因子 e^(-αx) をつけておきます(α>0)．
(2)　　I = ∫(0->∞){e^(-αx) sin(λx) / x} dx
とおいて
(3)　　dI/dλ = ∫(0->∞){e^(-αx) cos(λx)} dx = α/(α^2 + λ^2)
ですから，両辺をλで積分して
(4)　　I = tan^(-1) (λ/α) + const
λ=0 のとき I=0 ですから，(3)の const はゼロであることがわかります．
したがって
(5)　　I = tan^(-1) (λ/α)
で，α→0 とすれば
(6)　　∫(0->∞) sin(λx) dx = π/2
になり，さらにλ=1 とおけば
(7)　　∫(0->∞) sin(x) dx = π/2
が得られます．

(6)の積分がλ(λ>0)に関係なく π/2 になるのも面白いところですね．
なお，λ=0 なら積分値はゼロ，
λ<0 なら積分値は -π/2 です．

積分と微分の順序を交換したりしていますので，
本当は検討が必要ですがさぼりました．

Ae610 さんのやり方と同類ですね．

他にもいろいろ方法はあるようです．

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます
ガンマ　ベータ関数の問いでこの問題が出てきたので
この問題もそれらの関数で解けるのかなぁと
思い質問しました
他の解き方もあるんだたなぁと勉強になりました
ありがとうございました

お礼日時：2015/08/27 01:04

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2015/08/26 03:45

複素積分はNGとの事なので・・

一つのやり方として・・
∫[0→∞){exp(-x)・cosλx}dx = 1/(1+λ^2)であることを使って、両辺をλで積分してみる。

∫[0→λ]dλ∫[0→∞){exp(-x)・cosλx}dx
= ∫[0→∞){exp(-x)・(sinλx)/x}dx
= ∫[0→λ]{1/(1+λ^2)}dλ = arctanλ

もう一度λで積分すると
∫[0→λ]dλ∫[0→∞){exp(-x)・(sinλx)/x}dx = ∫[0→λ]{arctanλ}dλ

よって
∫[0→∞){exp(-x)・(1-cos(λx))/x}dx = λ・arctanλ - (1/2)・log(1+λ^2)

ここでλ = 1/α , x = αx'と置き換えてみると
(1/α)・∫[0→∞){exp(-αx')・(1-cosx)/(x')^2}dx' = (1/α)・arctan(1/α) - (1/2)・log(1+(1/α)^2)
∴∫[0→∞){exp(-αx')・(1-cosx')/(x')^2}dx' = arctan(1/α) - (α/2)・log(1+(1/α)^2)
α→0の極限を取ると右辺第2項→0

よって
∫[0→∞){(1-cosx')/(x')^2}dx' =π/2
x'を改めてxと書き直し部分積分を行うと
∫[0→∞){(1-cosx)/(x)^2}dx
= [(cosx-1)/x]|x=0→∞ + ∫[0→∞){sinx/x}dx
第1項目は→0となる
従って
∫[0→∞){sinx/x}dx = π/2

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2015/08/26 03:02

被積分関数sinx/xは偶関数なので積分範囲を-∞〜∞にして、答を2で割れば良い。

　被積分関数とe^(-iωx)をかけ算したものを-∞〜∞について定積分する。つまりフーリエ変換するんです。で、その結果からω=0の成分（直流成分）だけを取り出せば良い。

　被積分関数はsinc(x)とも書かれ、フーリエ変換のイロハに出てくる。だから、ちょっと勉強した人なら秒殺。