No.2ベストアンサー
- 回答日時:
W(z)=φ+iψ とおくと、
dW/dz = u-iv
= 2xy-i(x^2-y^2+1)
= -i(z^2+1)
より、両辺をzで積分して
W(z) = ∫(-i(z^2+1))dz
= -i(z^3/3 + z) + const.
= -i((x+iy)^3/3 + (x+iy) + C0+iC1
= x^2y-y^3/3+y+C0 + i(xy^2-x^3/3-x+C1)
よって
φ = x^2y-y^3/3+y+C0
ψ = xy^2-x^3/3-x+C1
となります。
No.3
- 回答日時:
tomtakさんが既にご回答されていますので、以下、補足の蛇足。
>二次元非圧縮性流れでx,y方向の速度成分が
u=2xy
v=x^2-y^2+1
であるとき
速度ポテンシャルφは次式で定義される(←流体力学のテキスト参照)。
u=2xy=∂φ/∂x (1)
v=x^2-y^2+1=∂φ/∂y (2)
一方、流れ関数ψは次式で定義される。
u=2xy=∂ψ/∂y (3)
v=x^2-y^2+1=-∂ψ/∂x (4)
●速度ポテンシャルφは(1),(2)より
φ=x^2y+C(x),C(x)はxだけの関数 (5)
φ=x^2y-(1/3)y^3+y+C(y),C(y)はy〃 (6)
(5)(6)は恒等的に等しいことから
C(x)=0,C(y)=(1/3)y^3-y を得る。これを(5)に代入して φ=x^2y。
●流れ関数ψもまったく同様にして
(3)より ψ=xy^2+C(y),C(y)はyだけの関数 (7)
(4)より ψ=-(1/3)x^3+xy^2-x+C(x),C(x)はx 〃 (8)
(7)と(8)は恒等的に同じだから
xy^2+C(y)=-(1/3)x^3+xy^2-x+C(x) (9)
これから(x,yの項それぞれを比較する)
C(x)=(1/3)x^3+x,C(y)=0 (10)
が得られる。(10)を(7)に代入すると流れ関数は ψ=xy^2。
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