数学 同値と必要十分の意味について

すみません。教えて下さい。

命題のところで、一般には、偽になりうる双条件文
P ⇔ Q
のことを同値命題と言い、

これが、恒真命題のときに、PとQ はたがいに必要十分条件であると言うと、書籍に書かれております。

一方で、高校数学での、平方するなどの一部の式変形を除く、いわゆる解の集合が保存されるような式変形を同値変形と言うと思います。変形前の式を命題P 、変形後をQ とおくと、両者は恒真命題になるので、必要十分な変形を意味していると思います。

当然、必要十分な命題も、同値命題の一部なので、
言葉としては間違っていないのでしょうが、高校数学で、同値変形といった場合、必要十分な関係にあるととらえていいのでしょうか？

また、等価ということばも、必要十分の意味と思われますが、よいのでしょうか？

以前から気になってました。ご指導願います。

質問者からの補足コメント

• 文章内、一部、不備がありました。
  
  誤:
  変形前の式を命題P 、変形後をQ とおくと、両者は恒真命題になるので、
  
  訂正:
  変形前の式を命題P 、変形後をQ とおくと、両者で作られる双条件文は恒真命題になるので、

    補足日時：2015/10/31 10:40

• すみません。
  
  等価という言葉は、大学の本で出てくる表現でした。
  
  よく、以下の表現は等価である。
  ・云々
  ・
  ・
  
  のように書かれており、それらは必要かつ十分な関係であるように思われるので、等価という言葉は、必要かつ十分な関係を示しているのかな、と解釈しておりました。
  
  とにかく、高校数学での、同値と言う言葉は、必要十分の意味で使われているという確認が取れただけでも、スッキリしました。
  
  ありがとうございます。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/10/31 22:24

• 皆様、ご解答ありがとうございます。
  
  命題ととらえるべきなのは、一種の定理のような主張に限定すべきということでしょうか？
  
  追加でおききしたいのですが、
  定理の証明については、例えば、その定理がA⇒B という形をしているならば、
  (つまり、A であることがBであるために十分であるという主張を示したい。)
  
  簡単のため、背理法などは使わないで、上記の形のまま示す場合を考えます。
  
  この時、A が真のときを考えて、直接B を導くことになると思います。これは、A が偽の場合は、B 云々によらず条件命題のA⇒ B 全体は真な訳ですから、考えなくてよいからだと思います。
  
  言ってみると、前者さえ示せば、その命題は常に正しいことになりますから、定理の証明とは、その定理が恒真命題であるということを示すことに他ならないと思うのですが、どうでしょう？特にA⇒ B の形ではそれが言えると思うのですが。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/11/01 23:48

• ありがとうございます。
  
  述語とは、命題関数と呼ばれたりするもののことでしょうか？
  
  つまり、個体変項に関する記述で、変項の値を決めてやることで、真偽の決まる命題になるものですか？
  
  ご指摘のとおり、私は述語論理について、深くは学習に至っていません。
  
  もっと深く理解したいですね。
  
  ところで、xは実数である という述語にx=3を
  大入した3は実数である という命題は、すでに個体変項を持っていないですが、このような場合は0個の個体変項を持つと考えて、述語の特別な場合として、含めて考えるのでしょうか？
  
  つまり、個体定項に関する記述である命題は、0個の個体変項に関する述語である。と考えていいのでしょうか？
  
  ご指導お願いします。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/11/02 10:16

• 毎度、ありがとうございます。
  
  人間の解釈と論理を分けて考えなくてはならないということでしょうか？
  
  難しいですね。
  
  何か、参考になるような書籍を教えていただけないでしょうか？
  
  高校数学の証明を勉強し直していたところ、こんな深い話に行くとは思っていませんでした。
  
  いやはや、理解できるのでしょうかね
  
  難しいです。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/11/02 22:15

No.6 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2015/11/04 10:25

ANo.5へのコメントについてです。

> 難しいですね。

　命題論理の論理式であって、「3は実数である」が真でも偽でも成り立つような恒真式、というものだって作れる。その際には「3は実数である」の中身は一切詮索する必要がなく、だから「A」に置き換えても同じなわけです。
　逆に言えば、中身をこそ問題にしたいときには「等号を持つ一階述語論理」と「集合論」使わなくちゃ、ということです。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2015/11/02 21:51

ANo.3へのコメントについてです。

　命題論理において、論理式に含まれるアトムA, B, …はその名の通り内部構造を持ちません。ただ、「A, B, …というアトムにそれぞれ真か偽かを付値することを考えて、どんな付値をしても論理式が真になるなら、その論理式は恒真だ」というような話をするだけです。

> 3は実数である という命題は

　これを命題論理における命題だと見ているのであれば、それは「3は実数である」という7文字で書かれる名前を持つ一つのアトムに過ぎません。その名前は何でも良くて、ただ他のアトムと区別がつきさえすれば良いのです。だから「A」と書くのと何ら違いはなく、内部構造を持たない。すなわち、「3は実数である」というただの名前をうっかり文だと思って意味を読み取ってはならない。（それは「山上登さん」という名前を聞いて「この人は登山家にちがいない！」と思い込むような誤りです。）言い換えれば「3は実数である」というひとつの名前を「3」だの「実数」だの「である」だのに分解することはできない。「3」だの「実数」だの「である」はこのアトムとは全く関係がないってことです。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2015/11/02 00:34

ANo.3ミスタイプ修正。

> 　∀x(A(x)⇔B(x))

　∀x(A(x)⇒B(x))

の書き間違いでした。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2015/11/02 00:31

ANo.2へのコメントについてです。

> 命題ととらえるべきなのは、一種の定理のような主張に限定すべきということでしょうか？

まるっきり話が逆ですね。
命題になっているかどうかの判断ができないんでしょうか？もし、「命題」という概念を「◯◯のような」なんて曖昧にしか理解していないなら、命題がどうたらと口走るのはやめとけ、ってことでしょうかね。

　解がたとえば実数Rに限定されている集合を
　　{ x | P(x) ∧ x∈R}
のように述語P(x)を使って内包的に捉えるのは自然であり、そうすると（
　　{ x | P(x) ∧ x∈R} = { x | Q(x) ∧ x∈R}
は
　　∀x((P(x) ∧ x∈R)⇔(Q(x) ∧ x∈R))
や
　　∀x(x∈R ⇒ (P(x)⇔Q(x)))
と「等価」ですから）集合を毎回書かなくたって、述語のミソの部分だけ書いて「P(x)を「同値変形」してQ(x)を得る」という風にしとけば済むじゃん、という略記をやっているのが「同値変形」に過ぎない。
　そこで、たとえば平方根の取り扱いに困ったり方程式と恒等式の区別がうまくできなかったりという学習者への指導、という場面では、「同値変形」なる手抜き表現をいちどやめて、ご質問にあるとおり解の集合の同値性を明確に意識するように教えると、本質がすっきり分かってもらえたりする。

> その定理がA⇒B という形をしている
> A が真のときを考えて

具体例を幾つか挙げてみてはどうでしょ。するとそれらの定理はおそらく
　∀x(A(x)⇔B(x))
の格好をしていると思いますよ。Aは命題ではなく述語になっていて、この述語を使ってB(x)を導くんでしょう。

　ちうわけで、命題と述語を混同なさっているのだろうと思います。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2015/11/01 18:55

> 解の集合が保存されるような

という所を正しく意識なさっているのであれば、
　　ax = bx
というのが果たして「解をもつ方程式」なのか「成立しない恒等式」なのかは、この一行だけ見ても決まらない、ということはお分かりかと思います。
　もっと一般に、高校数学において、式の同値変形で扱う「式」は、大抵は命題になってない。一方、

> 変形前の式を命題P 、変形後をQ とおくと、両者は恒真命題

　「恒真」というのは論理式に現れるアトムについて「どんな付値をしても真になる」ってことです。しかし、たとえば
　　y = x + x
を
　　y = 2x
と変形する
という場合、x,yは（アトムではなく）対象を表していますので、これらは述語の格好をしているわけで、命題じゃない。
　　(y = x + x)⇔(y = 2x)
を作ってみても、これ全体もまた一つの述語に過ぎませんから、真かどうか、という話はやっぱりできません。

　けれども、「どちらも同じ述語である」という意味において、両者は等価な表現であるには違いありません。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2015/10/31 21:28

＞高校数学で、同値変形といった場合、必要十分な関係にあるととらえていいのでしょうか？

⇒　そうです。

また、等価ということばも、必要十分の意味と思われますが、よいのでしょうか？

⇒　等価ということばは、高校数学では厳密には定義されていません。使用例を思い出してください。