ゼロに無限大を掛け算したらいくつになりますか？

Question

ゼロに何を掛けてもゼロだと習いました。
無限大に何を掛けても無限大だと習いました。それでは、ゼロと無限大を掛け算したら何になるのでしょうか？

sesaami · Accepted Answer

ゼロです。
ゼロを掛けるということは、無いということですから、何を掛けてもゼロなんです。
掛け算は　ｎ×個数ということだと考えると分かりやすいのではないですか。

無限大に何を掛けても無限大というのは、表しきれないものが複数合っても表しきれないということです。
黄河砂という単位がありますね。黄河にある砂くらい多い事から来ている単位ですが、単位があるというだけで実際には使用することはこれからも無いでしょうね。

crimson · Answer

ゼロでしょう。

「“ゼロが”無限個存在する」か、
「無限が“ゼロ個”存在する」と考える事ができますので。

Eivis · Answer

ゼロと無限大を同時に共有するような［漠]とした何かでしょう！

Eivis · Answer

＃２．説明不足でした。

たとえば［無限大]の風呂敷を裏から見たら、実は［ゼロ］だったというような感じです。

sesaami · Answer

ゼロは無いということです。
ということは、ゼロ／ゼロは、式自体が成り立たない訳ですね。
書ける事と成り立つことは別物です。

sesaami · Answer

答えが重複してごめんなさい。

＞無限大を掛けるということと、ゼロで割るということは、同じでしょうか？ 

ちがいます。

無限大は存在するものに対し、ゼロは存在しないのです。
たとえば、一桁の数字をやっと数えることの出来るようになった子供に、１００以上の数を数えさせても「いっぱい」と答えるでしょう。その「いっぱいが（沢山）」無限大の状態なのです。
数えられないけど存在する。その数が増えても数えられないものは、数えられませんよね。

sesaami · Answer

＞無限大×０＝無限大×（１－１）＝無限大－無限大＝無限大 
だから、ゼロが掛けられた時点でゼロになります。
無限大は数字ではなく、沢山あるというイメージなのです。
無限大というものが現れた段階で式は、放棄されているのです。

taropoo · Answer

皆さんいい加減なご回答を。知らない事は知らないといいましょうよ。

さて、０についてはおっしゃる通り、何を掛けても０です。
一方、無限大って何でしょう？そんな数字、あるんでしょうか？

答えはＮｏ。じゃ、無限大って何かと言いますと、これは極限のお話を抜きにしては語れないものです。

どんな大きな数Ｎを言われても、nをある値以上にすれば時にａ_nがＮより大きく出来ると、そんな時、ａ_nは無限大に発散すると言います。

それを式で書くと
lim　a_n = ∞
n→∞
となります。

問題は
lim　a_n = ∞
n→∞
かつ
lim　b_n = 0
n→∞
の時、
lim　a_n * b_n
n→∞
は、果たして無限大か０かという事。kamesenninさんの疑問を数式にするとこうなります。

答えとしては色々あるという事です。０の時もあれば∞の時もあればそれ以外のある数の時もある。

例えばa_n = n^2, b_n = 1/nなら∞だし、a_n = n, b_n = 1/n^2なら０、a_n = n, b_n = 1/n なら1と言った具合です。

もう１度言いますが「無限大」という値の数は存在しませんので、０と無限大を掛け算するという表現自体が間違っています。

ranx · Answer

「無限大に何を掛けても無限大」というのは、どなたに習ったのでしょうか。
ちょっと普通の数学ではないような気がします。というより、「無限大」と
いうのは数としては扱いませんから、１にゼロを掛けるというのと同じような
文脈で１に無限大を掛けるという言い方はしないと思います。

Xという変数があったとします。その値は決まっていないけれど、好きなだけ
大きくしていいとします。すると、Xに何かある正の数を掛けたもの、3X
とか100Xとかは、Xを大きくすることによっていくらでも大きくすることが
できます。このことを、「Xを無限大にした時の3Xの極限値は無限大である」
と表現します。

では、ゼロを掛けた0Xはどうでしょうか。Xは何かある数ですから、それに
ゼロを掛ければ結果はゼロです。つまり、0Xは、Xをどれほど大きくしても
ゼロになってしまうわけです。「Xを無限大にした時の0Xの極限値は0である」

ちょっと目先を変えて(1/X)を考えてみましょう。Xを大きくすることによって、
(1/X)はいくらでもゼロに近づけることができます。「Xを無限大にした時の
(1/X)の極限値は0」です。

では、Xと(1/X)を掛けたらどうなるでしょうか。Xがゼロ以外の数である限り、
いくら掛けても答えは1です。Xの極限値は無限大、(1/X)の無限大は0、
それとは関係無なく、Xと(1/X)を掛けたものの極限値は1になります。

回答にはなりませんが、こんな考え方ができますということで。

stomachman · Answer

taropooさんと概ね同意見です。無限大に関しては過去の質問にも何度か出てきていますから検索してみてくださいね。
　繰り返しになりますが、
●「無限大」とは性質であって、数じゃない。だから「無限大をかけ算する」は何も意味しない。

　普通の数（自然数や実数や複素数などなど）については以下のことが言えます。
●「無限大」という性質を持つ数はない。
●かけ算、わり算は数についてだけ定義されているから、「無限大である数をかけ算する」と言い直しても、やはり何も意味しない。

　初学的にはこれで十分であり、強いてその先を追求すれば、taropooさんの仰るように極限の概念を持ってくるしかないと思います。

　しかし「超準解析学」（無限小解析とも言います）においては、極限を使わなくても無限大や無限小が扱えるようにするために、数の概念を拡張した「数’」を考えます。数’について加減乗除、絶対値、大小関係などが普通の数と同じように定義されていて、
●普通の数はみんな数’である。これらは有限の数’（無限大でも無限小でもない数’）である。
●数’が普通の数である場合、その加減乗除、絶対値、大小関係などは、普通の数学と全く同じである。たとえば、どんな数’に0をかけ算しても、答は0です。また、どんな数’も、それを0でわり算することは禁じられている。
●無限小である数’が無限個ある。
●xを無限大である数’とするとき、1/x は無限小である数’である。
●yを無限小である数’とするとき、1/y は無限大である数’である。
●(普通の数)+(無限小である数’)は有限の数’であるが、普通の数ではない。
などの性質を持っています。
　普通の数学で扱う（絶対値が小さい）数と、無限小の数’とは全然違うものであることにご注意下さい。
どんな普通の数よりも0に近い数’が無限小の数’です。これにどんなに大きな普通の数をかけ算しても、答は無限小の数’です。
　そして無限小の数’の逆数が無限大の数’である。これはどんな普通の数よりも絶対値が大きい。どんなに小さい普通の数をかけ算しても、答は無限大の数’である。（分からない？そりゃ誰だって分かりませんてば。）
　さて、こういう超準解析の数’の世界において
★無限大の数’xに0をかけ算するとどうなるか。これは0になります。
★無限大の数’xに0でも無限小でもない数’をかけ算すると、無限大の数’になります。従って、xに、無限大の数’yをかけ算すると、これも無限大の数’になります。
★しかし、無限大の数’xに無限小の数’εをかけ算すると、それらが何かによって、無限小の数’になったり、有限の数’になったり、無限大の数’になったりします。
★数’xについて、x÷0は何も意味しません。

ゼロに無限大を掛け算したらいくつになりますか？

ゼロでしょう。

この回答への補足

ゼロと無限大を同時に共有するような［漠]とした何かでしょう！

ゼロです。

この回答への補足

＃２．説明不足でした。

ゼロは無いということです。

答えが重複してごめんなさい。

この回答への補足

＞無限大×０＝無限大×（１－１）＝無限大－無限大＝無限大

皆さんいい加減なご回答を。

「無限大に何を掛けても無限大」というのは、どなたに習ったのでしょうか。

この回答への補足

taropooさんと概ね同意見です。

この回答への補足

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