高校数学の微積分について質問です。a,bを定数として、∮_a^x (x-t)f(t)dt=co

高校数学の微積分について質問です。

a,bを定数として、
∮_a^x (x-t)f(t)dt=cos(ax)-b…(＊)とおく、以下積分区間を省略して表記
を解いて、f(x),a,bを求める問題があります。
方針として、
①xにaを代入する
結果:0=cos(a^2)-b
②(＊)式の両辺をxで微分する
が妥当と思います。

②において私は
(x-t)f(t)のtにxを代入したものが(＊)の左辺になると思ったのですがそれでは(＊)式が成り立たず、解説を見ると

((＊)の左辺)=x∮f(t)dt-∮tf(t)dt
xで微分して 結果:∮f(t)dt
この式にx=aを代入して
結果:a=√π,b=-1,f(x)=-πcos(√π・x)

となっていました。私のやり方はどうして間違っているのか教えてください。

質問者からの補足コメント

• 訂正:
  
  ②において私は
  (x-t)f(t)のtにxを代入したものが(＊)の左辺になると思ったのですが
  
  とありますが、正しくは
  
  ②において私は
  (x-t)f(t)のtにxを代入したものが(＊)の左辺を微分したものになると思ったのですが
  
  です

    補足日時：2016/02/17 14:53

No.1 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2016/02/17 22:34

∮_a^x (x-t)f(t)dt　（これは、下端がａ、上端がｘですね？）

∫の中にｘがあるから。
積分計算すると、ｘの次数が　１　高くなる

たとえば、
∫ｔ^ndt=(1/(n+1))x^(n+1)
で、これをｘで微分すると、
ｘ^n
となり、ｔをｘに置き換えた式になる。

でも、
∫ｘｔ^ndt＝(1/(n+1))ｘ(n+2)
で、これをｘで微分すると、
((n+2)/(n+1))ｘ^(n+1)
となり、ｔをｘに置き換えた式　ｘ^(n+1)　にはならない。

ｘの次数が１高いから、微分したとき、係数がかわってしまう。

あるいは、
∫cosｔdt
とすると、
これは、sinｘ－sinａ
となり、ｘで微分すると、もとの式のｔをｘに置き換えた式　cosｘ　になるが、

∫ｘcosｔdt
だと、
ｘ(sinｘ－sinａ)　になり、これをｘで微分すると、
sinｘ－sinａ＋ｘcosｘ
となり、もとの式のｔをｘに置き換えた式　ｘcosｘ　にはならない。


積分の中に、ｘがあるので、微分するときに、
(ｆｇ)'＝ｆ'ｇ＋ｆｇ'
を使わないといけないから、ｔをｘに置き換えただけではだめなのでは？

この回答へのお礼

早急な回答ありがとうございます。
(fg)'=f'g+fg'
を見落としていました、ありがとうございました。

お礼日時：2016/02/17 23:27