水晶振動子の共振周波数が算出できない

水晶振動子の共振回路の共振周波数を算出したいのですが、直列共振の周波数しか求めることができません。

並列共振の周波数も算出したいのですか、どこが計算が間違っているのでしょうか？

※抵抗成分は、計算が煩わしいので無視しています


ご教授お願いします。

No.11 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/20 07:19

蛇足ですが、直列共振周波数

ωs=1/√(LC1)
と並列共振周波数
ωp = 1/√(LC1C2/(C1+C2))

は ωs<ωp になりますが
C1<<C2 で、C1C2/(C1+C2)≒C1 となるので
ωsとωpは極めて近い値になり、またC2と並列に
寄生容量が加わっても、周波数は殆ど変化しないので
外界の影響を受けにくい。
#AN04の2つの共振周波数は、極めて近い値になります。

水晶振動子は ωs<ω<ωp では誘導性、
それ以外では 容量性になるので、
水晶振動子が誘導性の時のみ発振するように
回路を組むと、発振器はωs<ω<ωp
の範囲で発振します。
これが水晶振動子による発振が、簡易な回路で高精度
になる理由です。

No.10 回答者： yhr2 回答日時： 2016/02/19 23:27

No.6です。

ああ、ちょっと余計なことを書いてしまいましたかね。

　「共振」現象の具体的なイメージを書こうと思ったのですが、かえって誤解されやすかったでしょうか。
（数式的にはインピーダンスの極大、極小で解けばよいのですが、それがなぜ「共振」になるのかの現象をイメージしたかった）

　「並列共振」が、インピーダンス極大（この場合無限大）というのは、「電源からの電流が流入しない」ということですから、イメージとして「電源を切り離した（電源からのスイッチを「切」にした）閉ループ」状態での充電・放電の定常的な繰り返しを考えればよい、ということです。このため、「並ループ」を構成する全ての要素L1、C1、C2（直列共振では「並列」接続となるものも含めて）が関係します。

　「直列共振」は、外に可変周波数の電源を置いたときに、最もインピーダンスが小さくなる周波数のときに、回路として最も電流を流しやすい状態になる、ということです。そのためには、「並列」ならインピーダンスの小さい側が「極小値」をとればよいので、一方の並列ラインの存在（この例ではC2）は無視されます。

　「直列共振」と「並列共振」は、上のようなイメージで考えればよいのでは、ということが言いたかったのです。

　No.4さんの計算例は、ちょっと中身を正しく把握できていませんでした。この部分は無視していただいた方がよさそうです。

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/19 19:24

>質問者さんのおっしゃる「並列共振」が、

>添付図の回路で電源を取り外したときに、
>「L1 → C1 → C2 → L1 」という閉ループの
>内部で充電・放電を繰り返す現象のことを言うのであれば、
>No.5 さんの共振周波数になると思います。

あれれ、yhr2さんらしくないですね。質問者様と私の共振周波数の
定義は、インピーダンスの絶対値の極大点、または極小点です。
損失がない場合は、インピーダンスの絶対値が無限大、または 0 になる点。

「振動子の両端」から見たインピーダンスZは

Z = {jωL1 + 1/(jωC1)}{1/(jωC2)}/{jωL1 + 1/(jωC1) +1/(jωC2)}

インピーダンスの絶対値が無限大になるのは、分母が 0 になる時なので
＃所謂ポール(極)による共振

jωL1 + 1/(jωC1) +1/(jωC2) = 0

なので共振周波数　ω = 1/√(LC1C2/(C1+C2))

インピーダンスの絶対値が０になるのは、分子が 0 になる時なので
＃所謂零点による共振

jωL1 + 1/(jωC1) = 0

で共振周波数　ω = 1/√(LC1)

＞前提とする回路構成が異なることになります

完全な並列共振では、タンク回路の中に電流が還流するだけで
電源には電流は流れません。回路構成が質問者様の想定通り
なのは上の計算からも明らかです。

>No.4さんの計算は、共振周波数計算での ω に関する二次方程式が、
>抵抗 Rs を入れたことにより「重根」ではなく２つの解を持った、
>ということでしょうか。

これも違います。直列共振では L1 と C1 で共振しますが、並列共振では
L1 と C1とC2で共振を起こします。なので、Rsが無くても周波数は分かれます。

No.8 回答者： xpopo 回答日時： 2016/02/19 10:21

回答NO.7です。

すみません、式(3)が間違えてます。


　　ω=1/√(L1C1)　　　　　　　　(3)

C2をC1に訂正してください。

No.7 回答者： xpopo 回答日時： 2016/02/19 10:18

回答NO.4です。

補足の質問についてお答えいたします。

＞どうして並列共振→インピーダンス最大になるとき、
＞虚部無限大で計算するのですか？
＞
＞ただのLCの並列共振回路では、
＞インピーダンスの虚部=0で計算しますよね？
＞
＞何がちがうのでしょうか？

回答＞＞すみません。分かりづらい回答をしてしまったようです。L1に直列の抵抗R1を最初から無い状態でインピーダンスを計算してしまったのでそういう疑問が出てきてしまったんだと思います。
　最初からR1を無視しないで式を立てて以下のように計算してみますと、

|z|={R1+jωL1+ 1/(jωC1)}/[jωC2{R1+jωL1+1/(jωC1)+1/(jωC2)}]

　 ={R1(ωL1-1/(ωC1)-{ωL1-(C1+C2)/(ωC1C2)}-j[R1^2+{ωL1-(C1+C2)/(ωC1C2)}{ωL1-1/(ωC1)}]/[ωC2[R1^2+{ωL1-(C1+C2)/(ωC1C2)}^2]]　　(1)


を得ます。
ここで式（１）の虚部＝0　とすると、

　　　[R1^2+{ωL1-(C1+C2)/(ωC1C2)}{ωL1-1/(ωC1)}]=0　　(2)

この式（２）でR1は無視できるほど小さいので式(2)からR1をゼロにして、

　　　　ωL1-1/(ωC1)=0　　

　　　　　　　　↓

　　　ω=1/√(L1C2)　　　　　　　　(3)


　　　　ωL1-(C1+C2)/(ωC1C2)=0

　　　　　　　　↓
　　　
　　　ω=√{(C1+C2)/(L1C1C2)}　　　(4)


と直列共振周波数は式（３）、並列共振周波数は式（４）で与えられることが分かります。
ちゃんと　インピーダンスの虚部=0で計算　すれば得られる結果だというのがお分かりになると思います。

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2016/02/19 09:57

No.2です。

質問者さんのおっしゃる「並列共振」が、添付図の回路で電源を取り外したときに、「L1 → C1 → C2 → L1 」という閉ループの内部で充電・放電を繰り返す現象のことを言うのであれば、No.5 さんの共振周波数になると思います。
ただし、そうすると、前提とする回路構成が異なることになります（電源のない、閉回路という条件）。

そうではなく、回路の上下に電源を接続しているのであれば、その電源から見た共振周波数はNo.2になります。
No.4さんの計算は、共振周波数計算での ω に関する二次方程式が、抵抗 Rs を入れたことにより「重根」ではなく２つの解を持った、ということでしょうか。結局は、No.2と同じものを計算しているのだと思います。

お示しの回路図には電源などの周囲の条件が記されていないため何とも言えず、電源も含めた全体の回路と、どの部分の（どの部分から見た）「共振」を考えるのかを明確にする必要があると思います。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/18 18:14

ANO3です。

具体的には

Zの分母=ωL1 - 1/(ωC1) - 1/(ωC2)=0
→ω^2L1=1/(C1) + 1/(C2)

C = C1・C2/(C1+C2) とすると

ω=1/√(L1・C) (インピーダンス無限大の周波数)

No.4 回答者： xpopo 回答日時： 2016/02/18 10:05

水晶の直列共振周波数ではインピーダンスが極小（０近く）になりますが、並列共振周波数ではインピーダンスが極大（直列抵抗が０Ωなら無限大）になります。

　従って、合成インピーダンスが極大になる周波数を計算すればよいことになります。つまりインピーダンスZの分母が０になる条件で計算すれば求まります。
シミュレーションしてみればわかりますが、1例としてシミュレーション結果を添付しておきます。
　この例では

　　　直列共振周波数：１０MHｚ
　　　並列共振周波数：10.3MHｚ

となってます。

この回答へのお礼

皆様回答ありがとうございます。

質問なのですが、
どうして並列共振→インピーダンス最大になるとき、
虚部無限大で計算するのですか？

ただのLCの並列共振回路では、
インピーダンスの虚部=0で計算しますよね？

何がちがうのでしょうか？

お礼日時：2016/02/18 23:40

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/18 07:47

共振点にはインピーダンスの減るものと増えるものがありますが

前者は所謂Zの零点、後者は所謂Zの極(ポール)
を計算します。

普通はラプラス変換で検討しますが
この問題の場合損失が無いので、
Ｚの分母が0になるωを求めればよいです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/02/18 01:21

L1 + C1 の直列と、これと並列に C2 をつなげた回路でよいですか？

　「直列共振の周波数しか求めることができません」と書いてありますが、これがこの「直列+並列」の回路の共振周波数です。これ以外の「並列共振」など存在しません。

　この回路の合成インピーダンスは「虚部」だけになりますから、「共振」の定義から言えば、それがゼロになるときで、1/ωC2 ≠ 0 なので
　　ωL1 - 1/ωC1 = 0
つまり
　　ω = √(1/L1C1)
　　T = 2パイ√(L1C1)
でよいと思います。
　ただし、これは「インピーダンスがゼロ」ということですから、電流が無限大に流れることになり、実際には抵抗成分を接続しないと成立しません。（そうすると、合成インピーダンスが変わるので、共振周波数も変わりますが）
　抵抗を接続した場合には、回路全体として見れば、抵抗にのみ電源の電圧がかかり、電流が流れます。

　しかし実際には、L1, C1, C2 の個別には、それぞれの位相で電圧がかかり、相互に電流をやり取りする状態になっています。その状態を、質問者さんは「並列共振」と呼んでいるのかもしれませんが、それは回路全体の共振を個別のL1, C1, C2 について見たもので、回路全体の共振と同じものです。
　従って、その周波数は上記のものと同じです。

　ところで、タイトルには「水晶振動子」とあるのですが、この質問内容とどういう関係ですか？
　それも含めて、質問の趣旨を取り違えている場合には、ご容赦ください。