数学的帰納法についておしえてください

ａ，ｂを1より大きい整数を表すものとするとき、ａ＾3ｂ-ａｂ＾3は6の倍数である
　証明を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： taropoo 回答日時： 2001/06/19 14:37

siegmundさんのおっしゃる通り、帰納法で示すような問題ではない気がします。

ただ、敢えてやるならばという解答例を載せておきます。

i) a=b=2のとき
a^3b - b^3a = 2^3*2 - 2^3*2 = 0 = 6 * 0
よって６の倍数である。

ii)a=n, b=mで成り立っていたと仮定する。即ち
n^3m - m^3n = 6k　　　　(kは整数)　　　　…(1)
とする。この時a=n+1, b=mでも成り立つ事を示す。
(n+1)^3m - m^3(n+1)
= (n^3 + 3n^2 + 3n + 1)m - m^3(n + 1)
= n^3m + 3n^2m + 3nm + m - m^3n - m^3
= (n^3m - m^3n) + (3n^2m + 3nm) + (m - m^3)
= 6k + 3mn(n+1) + (m-1)m(m+1)
第２項は３の倍数であり、nとn+1のどちらかが２の倍数だから６の倍数、
また、第３項は３つの連続する整数だから少なくとも１つは３の倍数、かつmとm+1のどちらがが２の倍数だから６の倍数。
ゆえにa=n+1, b=mのときにも成立する。

iii)（同様の方法でa=n, b=mで成り立っていた時にa=n, b=m+1でも成り立つ事を示す。）

以上によりa>=2, b>=2である任意の整数a, bについてa^3b - b^3aが６の倍数である事が示された。


解答例としてはこんな感じですが。
帰納法のメリットとしては場合分けが必要ない事くらいですかね？

No.1 回答者： siegmund 回答日時： 2001/06/19 01:32

数学的帰納法とは無関係でしょう．

因数分解して ab(a+b)(a-b) で，これが２の倍数かつ３の倍数
であることを示せばよい．

(i) ２の倍数
a,b どちらか偶数ならそれで終わり．
どっちも奇数なら a+b も a-b も偶数

(ii) ３の倍数
a,b どちらか３の倍数ならそれで終わり．
どっちも３の倍数でないときは，a,b とも 3n±1 の形(複号任意)．
可能性は４通りあるが，いずれも a+b あるいは a-b が３の倍数になるのは
簡単に示せる．

あとの詰めはご自分でどうぞ．