ε-δ論法とは

たまに趣味で数学の副読本を読んでいると ε-δ論法 が出てきますが、その本の解説を読んでも理解し難いです。誰でもいいので ε-δ論法 とはどのようなものか高校生(数学が得意とする人)でも分かるような説明をお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/04/01 19:19

無限小や無限大という概念を使用せずに収束・連続を議論する

方法がイプシロンデルタ論法です。これによって微積分が
厳密に議論できるようになります。
高校の微積分は厳密さに目をつぶった、感覚的で
不完全なものなのです。

ます" 数列に関してイプシロン-N論法を習って
数列の収束の論じ方になれたら、関数の極限を
イプシロン-デルタで論じることに慣れる
という順序がよいかと。

まっとうな微積分学の教科書なら必ず載ってますので
まず教科書を手に入れて下さい。

この回答へのお礼

簡単かつ分かりやすい解説をありがとうございます。
解説を読んだところ解析学の内容のようで、難しそうにと思えてもまた面白そうに思えてきました。
機会あったら数列に関する方も調べてみます。

お礼日時：2016/04/07 22:04

No.5 回答者： funoe 回答日時： 2016/04/04 00:30

f(x)=2x　が　x→2　のとき　f(x)→4　であることを証明しなさい

ってとき、
感覚的に、「だってxが2に近づけば２ｘって４に近づくじゃん」（高校生までのやりかた）っていうのではなくて、

「こういう条件が成立したときにはf(x)の極限が４と言明してよいですよ」
と、証明の条件を定義づけしたものです。


２つの同じ形の三角形があったとき
「だって同じ形じゃん」（小学生までのやりかた）っていうのではなくて、
「こういう条件が成立したときには２つの三角形は合同と言明して良いですよ」
と、証明の条件を定義づけしたものが「三角形の合同条件」（３辺相等とか）ですよね。

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内容的には、（感覚的には）
「f(x)はx→x0のとき、いくらでもαに近づく」ことを示すために、
「どんな小さい正の数（εのこと）でも言ってごらん、その数より小さい範囲にf(x)とαの差を収めて見せるから」といってxをx0に近づけるんだけど、その近づけかたは、「xをx0のすぐ近く、具体的にはδ以内の誤差の範囲に納めれば」、f(x)はαとεほどの差もなくできる。
ってことを示せれば「f(x)はx→x0のとき、いくらでもαに近づく」を証明できた、
とする、「証明のやりかたを定義づけしたもの」がε-δ論法です。

No.4 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/04/02 00:07

ε と δ が登場する

∀ε > 0 ∃δ > 0: P(ε, δ) ・・・ (*)
という形の命題、丁寧に書けば
∀ε [ε > 0 → ∃δ (δ > 0 ∧ P(ε, δ))]
となりますが、この命題の真偽を調べること、といっていいでしょう。
命題 (*) が真か偽かは、命題関数 P(ε, δ) 次第です。
例えば P(ε, δ) が
∀x ∈ R (0 < |x - 2| < δ → |x^3 - 8| < ε) なら (*) は真ですが、
∀x ∈ R (0 < |x - 2| < δ → |x^3 - 9| < ε) なら (*) は偽です。
これは x^3 → 8 (x → 2) が真で, x^3 → 9 (x → 2) が偽であることを意味します。

(*) が真であることを証明する場合は、最初に正数をひとつ自由に選び、それを ε として、後から P(ε, δ) が真となるような正数 δ を見つけます。
当然 δ は ε に依存します。
先ほどの例ですが、命題
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R (0 < |x - 2| < δ → |x^3 - 8| < ε)
が真であることは明らかです。
正数 ε が任意に与えられたとき、正数 δ をどう選べばよいか、考えてみてください。

(*) が偽である、つまり命題
∃ε > 0 ∀δ > 0: ￢P(ε, δ)
が真であることを証明する場合は、最初に正数 ε を上手に選ぶことにより、後から正数 δ をどう工夫して選んでも P(ε, δ) が偽となるようにします。
同じく先ほどの例ですが、命題
∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x ∈ R (0 < |x - 2| < δ ∧ |x^3 - 9| ≧ ε)
が真であることは明らかです。
正数 ε をどう選べばよいか、考えてみてください。

No.3 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/04/01 20:13

大学でも学びたいなら

http://www.amazon.co.jp/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81 …

を読むことを薦める。

詳しく演習したいなら
http://www.amazon.co.jp/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82 …

かな。両方持ってますが、単にイプシロンデルタ論法を身に付けたいだけなら後者だけでもいいかもね。

No.1 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/04/01 18:42

まず、あらゆるεに、とある条件(ε>0)を付加したときに、εを変数とする関数δについて、特定の値(δ(ε)>0)を満たすδが存在することを仮定している。

その過程の下に後に続く論理を演繹することをε-δ論法という。