Max

x^2+y^2=69^2　,　X^2+Y^2=69^2 　なる　制約条件　の　下で

　　1/2 (x*Y-X*y-69*y+69*Y) の　最大値を お願い致します

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/05/09 12:10

んっと....

(69^2/2)(1+√2)
かな?

No.2 回答者： housyasei-usagi 回答日時： 2016/05/10 20:15

x=X=69/2,yとYは計算して頂くとして，y<0，Y>0の時が最大値になると思います。

No.1さんの回答より大きくなるはずです。
ただ，説明が自分で引っかかるのですね。これいいのかなと。

No.3 回答者： housyasei-usagi 回答日時： 2016/05/10 20:47

No.2です。

実は１つだけ疑問点があり，責任持てない。ご参考まで。ただ，答えは合っていると思う。


とりあえず数式を変換します。1/2は省略。
x*Y-X*y-69*y+69*Y＝Y(x+69)-y(X+69)

これで分かるのは，最大値にするためには，YとｘとXは正で，yは負であること。

Y＝√(69^2－X^2)　y=も同様。
ルートなんでプラスマイナスありますけど，先に理由によりプラスマイナスは決まる。
すなわち
Y=√なにがし
y=-√なにがし
√の中は「なにがし」は省略させて頂きます。この問題を理解するうえで説明不要。


これを計算していくと・・・1/2は省略

√(69+ｘ)(69+X)(√(69-ｘ)(69+X)+√(69+ｘ)(69－X)

となる。

ここからが，自分としていいのか悪いのかわからない。結果的には答えが合うと思っていますけど
説明としていいのかわからない。

先の式はXとxを入れ替えてもまったく同じ式になる。

だから，X=xとおける・・・（これが正しいのかがイマイチ自分でクリアにならない）



というわけで，X=xとして計算して，式まとめたら√が残るので，2乗してしまう。
最大値なんで値が正であれば２乗しても最大は最大です。


これを計算していくと４次式になる。


ここからは微分。最大値と最小値の場合，微分した値は０。
つまり，傾きがなくなる頂点で，ここが極大，極小，最大，最小のいずれかになる。


それで計算していく。ルートがあると面倒なんで，最大値求めるなら二乗してもいい。

69は面倒なんでa=69と置けば


-x^4-2ax^3＋2a^3x+a^4となる。

これをｘで微分する。すなわち傾き０は極大。

微分結果は
（x+a)^2(2x-a)=0

これを満たすｘで，初めに書いたx>0となれば，
2x=a
すなわち
ｘ＝69/2＝34.5

ということで，
x=X=Y=34.5
y=-34,5
この時が最大。



ということで，答えは合っているとは思いますけど。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/05/11 08:19

あ～, やっぱりどこか勘違いしてたか～.

制約式の形から三角関数を使って置き換えるのがセオリックで, そのあと加法定理とか和積とかを使って整理すると割と簡単な形になる, はず＞#3.