うーん・・・

空気抵抗のある落下運動についての質問

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質問者：ロアルドダール
質問日時：2016/05/14 17:52
回答数：3件

原島鮮氏の『力学』p37より
速度に比例する空気抵抗のみ考える場合についての立式の途中に、

dv/g+kv=-dt
積分して、
1/k{log(g+kv)}=-t+定数

（m:質量、kmv:抵抗）

とあるのですが、若輩者ゆえこの積分の過程が理解できません。どなたか本書をお持ちの方、もしくはこれを理解できる方、何卒お知恵を拝借できればと存じます。

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回答 (3件)

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No.1

回答者： hitokotonusi
回答日時：2016/05/14 21:33

積分する変数の前に係数があると面倒なので、

dv/(v+g/k) = -kdt

と書き換えておいたほうが楽。

g/kは定数なのでdv = d(v+g/k)であることを使うとさらに

d(v+g/k)/(v+g/k) = -kdt

念のため丁寧にこれをX=v+g/kと置き換えれば

dX/X = -kdt

なので積分して

ln |X| = ln |v+g/k| = -kt + C

初期条件がv+g/kが必ず正になる条件なら絶対値は不要なので

ln (v+g/k) = -kt + C

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No.2

回答者： tknakamuri
回答日時：2016/05/15 18:02

d{Iog(g+kv)}/dt=ｋ/(g+kv)

がIogの微分と合成関数の微分公式から出てきます。

積分はこの反対になるので

両辺を積分すると

(1/k)Iog(g+kv)=t+C(積分定数)

ですね。

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No.3

回答者： yhr2
回答日時：2016/05/16 09:33

「dv/g+kv=-dt」と書かれているのは

　　dv/(g + kv) = -dt
ということですね？

下記のリンク先である「積分公式」の、「基本となる関数の積分」の2つ目です。
x = kv + g とおけば、dx=k*dv となり、この公式がそのまま使えます。

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekib …

こちらでも「基本的な関数」の2番目に出てきます。
http://mathtrain.jp/integral_matome

　積分の最も基本的な
　　f(x) = x^a
の唯一の例外である a=-1 の場合ですから、かなり「基本」かと思います。