A～Eの5種類の文字から10桁の文字列を作って、A,B,Cの文字が含まれる並びは何通り？

A～Eの5種類の文字から、10桁の文字列を作り、
　※AAAAAAAAAA、AAAAAAAAAB、AAAAAAAAAC～EEEEEEEEEEまでの9,765,625通りかな？
その文字列の中に、A,B,Cの文字が含まれる並びは何通りあるのか
　※AABBCCDDEE,ABCDEABCDE,AAAAAABCDE,というような並びはOKですね。
　※AABBDDEEAAは、Cが入っていないのでダメです。
を、知りたいです。

計算式と答えを頂けると助かります。
よろしくお願いいたします。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/05/27 22:44

A, B, C の各々の文字を、必ず1つ以上含む文字列ということですね？

まっとうに数えると、A, B, C がどこに入るかによって、重複したものを数えないようにするのはけっこう複雑になります。

そういうときには、「A, B, C のどれか一つをまったく含まない文字列」を数えて、トータルから差し引くようなやり方が一番簡単でしょう。

「A をまったく含まない文字列」は、「B～Eの4種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
　　4^10 = 1,048,576
です。

同じく「B をまったく含まない文字列」は、「A, C～Eの4種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
　　4^10 = 1,048,576
「C をまったく含まない文字列」は、「A, B, D～Eの4種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
　　4^10 = 1,048,576
です。

ということで、「A, B, C のどれか一つをまったく含まない文字列」は
　　1,048,576 × 3 = 3,145,728
です。

これをトータルの文字列数「5^10 = 9,765,625」から引いて、
　　9,765,625 - 3,145,728 = 6,619,897
かな？

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/05/27 23:52

「A と B の両方を含まない」などが存在することを忘れてはだめです＞#1.

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/05/28 01:33

No.1です。

#2さん＞「A と B の両方を含まない」などが存在することを忘れてはだめです＞#1.

ああ、そうでした。いつも、そういうところが抜けるんですよ。
下の絵のような関係で、No.1の３つの「含まないケース」を足し合わせると、ダブルカウント、トリプルカウントが出るのですね。

「A をまったく含まない文字列」は、「B～Eの4種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
　　4^10 = 1,048,576
「B をまったく含まない文字列」は、「A, C～Eの4種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
　　4^10 = 1,048,576
「C をまったく含まない文字列」は、「A, B, D～Eの4種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
　　4^10 = 1,048,576

また、
「AもBも含まない」は、「C～Eの3種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
　　3^10 = 59,049
「AもCも含まない」は、「B, D～Eの3種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
　　3^10 = 59,049
「BもCも含まない」は、「A, D～Eの3種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
　　3^10 = 59,049
「AもBもCも含まない」は、「D～Eの2種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
　　2^10 = 1,024

よって「A, B, C をいずれも含まない文字列」は
　　1,048,576 × 3 - (59,049 - 1,024) × 3 - 1,024 = 2,970,629
です。

これをトータルの文字列数「5^10 = 9,765,625」から引いて、「A, B, C をすべて含む文字列」は
　　9,765,625 - 2,970,629 = 6,794,996

今度は間違いないと思いますが・・・。

No.4 回答者： gomadare75 回答日時： 2016/05/28 02:28

#3で、考え方は途中まで正しいのですが、以下の計算部分で、

>よって「A, B, C をいずれも含まない文字列」は
>　　1,048,576 × 3 - (59,049 - 1,024) × 3 - 1,024 = 2,970,629

これは、「AもBもCも含まない」が２回カウントされます。
この部分は、1,048,576 × 3 - (59,049 - 1,024) × 3 - 1,024 ×２　とすべきです。

あるいは、こうした場合は、２つ重なった部分を引いて、３つ重なった部分を足すのが公式の様なものなので、
それを覚えていれば、「A, B, C をいずれも含まない文字列」は
　　1,048,576 × 3 -59,049× 3 + 1,024 = 2,969,605　となります。

「A, B, C をすべて含む文字列」は
　　9,765,625 - 2,969,605 = 6,796,020 となります。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2016/05/28 11:37

No.1&3です。

ああ、まだ間違えていましたね。
#4さん、フォローありがとうございます。

組合せの問題で、重複を見つけ出して除外するのは、どうも苦手です・・・。

No.6 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/05/29 23:08

No.1&3&5です。

いろいろとゴタゴタしましたので、全体を再度統合して完成版の回答にします。

＊＊＊＊＊以下、回答＊＊＊＊＊

A, B, C をすべて1つ以上含む文字列ということですね？
まっとうに数えると、A, B, C がいくつ、どこに入るかによって、重複したものを数えないようにするのはけっこう複雑になります。

そういうときには、「A, B, C のいずれも含まない文字列」をトータルから差し引くようなやり方が一番簡単でしょう。

ということで、
「A をまったく含まない文字列」は、「B～Eの4種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
　　4^10 = 1,048,576
「B をまったく含まない文字列」は、「A, C～Eの4種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
　　4^10 = 1,048,576
「C をまったく含まない文字列」は、「A, B, D～Eの4種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
　　4^10 = 1,048,576

これら3つは、各々独立なものではなく、たとえば「Aを含まない文字列」の中には「Bを含まない文字列」もあるので、一部重複しています。従って、重複したものをダブルカウントしないようにしないといけません。

下記の図から上記3つのケースで重複しているものを調べると、
「AもBも含まない」は、「C～Eの3種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
　　3^10 = 59,049
「AもCも含まない」は、「B, D～Eの3種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
　　3^10 = 59,049
「BもCも含まない」は、「A, D～Eの3種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
　　3^10 = 59,049
「AもBもCも含まない」は、「D～Eの2種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
　　2^10 = 1,024

よって「A, B, C のいずれも含まない文字列」は
　　1,048,576 × 3 - 59,049 × 3 + 1,024 = 2,969,605
です。

これをトータルの文字列数「5^10 = 9,765,625」から引いて、「A, B, C をすべて1つ以上含む文字列」は
　　9,765,625 - 2,969,605 = 6,796,020
となります。

この回答へのお礼

皆様のお助けもありながらも、親身に回答くださりとても感謝しております。ありがとうございました！

お礼日時：2016/05/30 12:42