変化率を求める問題で始まりが書かれていないものは0スタートと捉えていいのですか？ 例)球の半径rが

変化率を求める問題で始まりが書かれていないものは0スタートと捉えていいのですか？

例)球の半径rが変化するとき、球の体積Vのr=5における変化率を求めよ。

変化率ってどの位変化したか、って事ですよね？微分ってそもそもどんな行為なんでしょうか？
申し訳ないのですが、自分理解力が全然ないみたいなので分かりやすく教えてくれるとありがたいです、、

No.2 ベストアンサー 回答者： lupan344 回答日時： 2016/05/28 18:13

r＝5における変化率を求めるので、r＝5の近傍でその変化を調べれば良いだけです。

微分は、関数のその点における変化率の極限です。
つまり、はじまりを0にする必要は無いです。
球の体積の公式、V＝3Πr^3/4を元にして、rに関して微分を求めれば良いだけですよ。
dV/dr＝9Πr^2/4ですから、r=5の変化率は、9Π5^2/4＝225Π/4となります。
定義どおりに、lim[Δr→0](((3Π（5＋Δr）^3/4)ー(3Π5^3/4))/Δr)から求めてもかまいません。
3Π/4は定数項なので、外に出すと、(5^3－5^3＋3・5^2Δr＋3・5Δr^2＋Δr^3）/Δr)＝3・5^2＋3・5Δr＋Δr^2
したがって、Δr→0の場合は、3・5^2＝75が残ります。
外に出した、3Π/4をかければ、75・3Π/4＝225Π/4となります。（微分公式で求めたのと同じですね）
以上は、球の体積の公式を知っている場合です。
質問文での問題が、どの程度の知識で答えるかで、解き方は異なってきますね。

No.3 回答者： lupan344 回答日時： 2016/05/28 18:19

回答の中の3/4は、4/3の間違いでした。

したがって、No.1さんの回答が正解です。
以下、訂正です。（微分公式の部分は、No.1さんで正解ですから、はぶきます）
定義どおりに、lim[Δr→0](((4Π（5＋Δr）^3/3)ー(4Π5^3/3))/Δr)から求めてもかまいません。
4Π/3は定数項なので、外に出すと、(5^3－5^3＋3・5^2Δr＋3・5Δr^2＋Δr^3）/Δr)＝3・5^2＋3・5Δr＋Δr^2
したがって、Δr→0の場合は、3・5^2＝75が残ります。
外に出した、4Π/3をかければ、75・4Π/3＝100Πとなります。

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/05/28 17:50

まず、ここは経済学のカテであって、数学のカテではありませんが、よいのでしょうか？

半径ｒの球の体積をV(r)と書くと、半径ｒをr=5からr=5+hへ変化させたときの（平均）変化率は
[V(5+h)-V(5)]/h
であることはよろしいですよね！r=5における変化率とはこのｈをゼロに無限に近づけたときの、（平均）変化率で、
lim h→0 [V(5+h)-V(5)]/h
と書き、この極限が存在するとき、V'(5)と表します。つまり、V'(5)とは、関数V(r)をｒで微分し、それをｒ＝５で評価した値になります。したがって、V'(5)はr=5から半径ｒを微小量変化させたときの（平均）変化率ということになります。
より具体的には、V(r)=（4/3)πr^3なので、V'(r)=4πr^2であり、Vのr=5における変化率はr=5をこの導関数へ代入し、 V'(5)=100πという値になります。
あなたの「０スタート」とはどういう意味でしょうか？

この回答へのお礼

経済学によく微分を使うと聞いたので、経済学を選んでみたのですが、、、なんか違ったぽいですね笑笑ありがとうございます！

お礼日時：2016/05/28 19:55