１次量子振動子はＥn＝hω(n＋1/2),n=0,1,2,……で与えられるエネルギースペクトルを持っ

１次量子振動子はＥn＝hω(n＋1/2),n=0,1,2,……で与えられるエネルギースペクトルを持っているとする。

(1)カノニカルアンサンブルで分配関数を計算せよ
(2)温度の関数として比熱を計算し、この比熱がら類似した古典的表現とどれだけ異なっているか吟味せよ

これを教えてください

質問者からの補足コメント

• 、

    補足日時：2016/07/26 21:09

No.1 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2016/07/28 01:39

Einsteinモデルです。

b=1/kT

分配関数

Z = exp(-bhw/2) Σn exp(-nbhw) = exp(-bhw/2) Σn [ exp(-bhw)]n = exp(-bhw/2)/[1 - exp(-bhw) ]
ln Z = -bhw/2 - ln [1 - exp(-bhw) ]

平均エネルギー

<e> = -d(lnZ)/db = hw/2 - hw exp(-bhw)/[1 - exp(-bhw) ]
= hw/2 + hw /[exp(hw/kT) -1 ]

比熱(1振動子あたり)

c = d<e>/dT = - hw exp(hw/kT) (-hw/kT^2) /[exp(hw/kT) -1 ]^2
= k (hw/kT)^2 exp(hw/kT) /[exp(hw/kT) -1 ]^2

高温の極限　hw/kT << 1

exp(hw/kT) -1 = 1 + hw/kT + ・・・・ - 1 ≒ hw/kT
c ≒ k

原子1個当たり自由度3、全部でN原子あるとすれば

熱容量 C ≒ 3Nk = 3nR

で古典的なデュロン＝プティの法則に一致。

低温の極限　hw/kT >> 1

exp(hw/kT) -1 ≒ exp(hw/kT)

c = k (hw/kT)^2 exp(-hw/kT)

N個の原子で

熱容量 C ≒ 3Nk (hw/kT)^2 exp(-hw/kT)

古典論と異なり低温では熱容量は温度に依存し、T→0でC→0となる。