四色問題（四色定理）の証明の新しいアプローチ

二次元平面、または穴のない二次元球面上に描かれた地図は、隣り合う領域を異なる色にするという条件で塗り分ける場合、4色が最大であるという四色定理がコンピュータシミュレーションで証明されています。このほかに、二次元球面にいくつ穴があいているかで、最大何色必要かを示すヒーウッドの公式が知られており、例えば穴が一つの場合、つまり、トーラスになっている場合、最大で7色という値になります。ここで視点を変えて、穴のない二次元球面図で塗りわけに必要な色の数が何色かで、これに穴を開けて必要な色の数を増やしたとき、最大で何色になるかが制限されるのではないか、という推測（憶測？）を提示しようというのです。
例えば、四色定理を前提にすると、穴なしの二次元球面図で3色で事足りる図の場合、これに穴を一つ開けて必要な色の数を増やしても、最大の7色にはできないのではないか、ということです。最大の7色必要な図にするには、穴なしの段階でも最大の4色必要な状態から出発しなければならないということです。これを言い換えると、穴が一つ、つまり、トーラス図で塗りわけに7色必要な図の場合、この図の穴を埋めて穴なしの状態に変化させたとき、必要な色の数が、穴なしの二次元球面図に必要な色の最大数になっているということです。これが4色であるなら、すなわち、穴のない二次元球面図の塗りわけに必要な色の数が4色であることになり、これは二次元平面図も同等となりますから、四色定理が証明できたというシナリオです。
　またこれをさらに別の表現ですると、例えば、二次元球面図で仮に、5色が塗りわけに必要となる図があったとすると、これに穴を一つ開けて必要な色の数を増やした場合、7色を超えて例えば8色必要になるようすることも可能になる。が、7色で最大ということがすでに証明されているので、これはおかしい。だから、5色必要な二次元球面図は存在しないということも言えるようになるというアプローチです。
　どうでしょう？穴なしの二次元球面図に穴を開けて必要な色の数が変化していく過程をどう数学的に表現すればいいのか、わかりませんし、（ここまでさもわかったように書いてきて情けないのですが）、それで、最大何色必要になるのか（できるのか）、もおそらくグラフ理論などを用いれば調べられるのではないかと期待するのですが、自分にはここまでしかいえないという状況です。どなたか、このアプローチを（アプローチといえるほどたいそうなものではないという声が返ってきそうですが）どう思うか、お考えをお聞かせ願えませんでしょうか。
　最後に長い文章をお読みいただきありがとうございます。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2016/09/23 11:11

2次元平面から2次元トーラスへの変換をしさえすれば、とお考えのようだが、えーと、2次元平面上の塗り分けた地図が有界（十分大きな正方形を描けば、その中に全部収まってしまう。

すなわち、その正方形の縁が１色であるようにできる）であれば、正方形の上端と下端、右端と左端をそれぞれ貼り合わせてトーラスを作っても塗り分けに必要な色数は当然変わらない。なので、まずは地図が有界でない場合の話に限定ってことですかね。

この回答へのお礼

アンサーをありがとうございます。お礼が遅れたことをお詫びいたします。実を言うと、このアンサーに記されている疑問点は自分も考えていました。正方形（長方形でもいいのですが）の地図があり、一見、端で途切れて見えるけれども、上端と下端、右端と左端が実際はつながっており（つまり、一つの領域になっている）、球面を平面状に展開しているものと考えられるという状態です。つまり、トーラスにしたときに、色の数を変更しないでもいいように地図を設定できるということですね。これとは逆に、トーラスにしたときに色の数を増やさねばならないように、あらかじめ二次元地図の塗り分ける領域を配置しておくことはできないか、と考えたのです。四色定理を前提にして話を進めると、四色が塗りわけに必要で、かつ、上端、下端、右端、左端も一つの領域とできるのではなく、少なくとも四つ以上の領域が端に集まっている状態の平面図を用意する。そこで、例えば、上端でも下端でも、あるいは、右端、左端でもいいのですが、そこにある領域の一つをあえて五色目で塗っておき、トーラス状に丸めたとき、二次元平面では不要だったこの五色目が必要になるようにできるのではないかということです。穴が一つの場合、つまりトーラスですね、最大で7色あればいいことから、二次元平面図で7色用いた地図を用意します。二次元平面図であれば三色は不要なのですが、これをトーラス状にしたとき、これら7色が必要な図となるように、二次元平面図を工夫しておくということで、これは、ブルーバックスの『四色問題』（一松信）で紹介されていました（自分の勘違いでなければよいのですが）。ならば、仮に五色必要な二次元平面図があり、これを上記の応用で、トーラスにしたとき色を増やさねばならないようにしておくと、7色以上必要な場合があるのでは？と考えたのです。四色から7色に増やす必要が生じるのは、最低限の条件としてもとの二次元平面図が四色必要になっていたからだと考えると、仮に五色必要な図から出発すれば・・・ということです。しかし、これはえらい考え違いをしているかもしれません。自分で質問しておいてなんですが、それほど強い確信を抱いているわけではないことを告白しておきます。また長い文章になってしまいました。最後までお読みいただいたことを感謝いたします。繰り返しますが、アンサーをありがとうございました。

お礼日時：2016/09/26 11:11