電気回路の問題です どうしてもわかりません

電気回路の問題です 求め方がどうしても分からず質問します

正弦波交流電圧 v(t)=3/√2cos(ωt+π/6)
正弦波交流電流 i(t)=2√2sin(ωt+π/3)
のとき、電圧フェーザV、電流フェーザI、インピーダンスZを求めよ

という問題です、どうか回答よろしくお願い致します

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/10/19 16:10

これは「分かる、分からない」の問題ではなく、「フェーザ表記」とは何かを知っているかどうかの問題です。

その定義さえ知っていれば、置き替えて使うだけです。変換の「定義」を理解しない限り、「分からない」ままです。
http://www.ice.gunma-ct.ac.jp/~mame/kougi/kairo/ …

フェーザ表記とは、オイラーの公式

　exp(jθ) = cos(θ) + j*sin(θ)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4 …

を使って、周期関数で表わされる交流電気を

　exp[ j(ωt + φ) ] = cos(ωt + φ) + j*sin(ωt + φ)

しかも
　exp[ j(ωt + φ) ] = exp(jωt) * exp(jφ)
　|exp(jωt)| = 1, |exp(jφ)| = 1
などの関係を使って、周期関数の exp(jωt) の部分を省略して、基準点からの「位相角φ」（フェーズ）だけを使った複素数で表示する便利な方法です。
　三角関数の「角度の足し算、引き算」を、指数関数の「かけ算、割り算」にして簡単化できます。

　そういった「前提」を理解した上でないと、下記の説明もチンプンカンプンでしょうね。

　問題については、電圧と電流を「同一基準」で扱うために「sin」表記に統一して

　　v(t) = (3/√2)cos(ωt + π/6)
　　　　= (3/√2)sin(ωt + π/6 + π/2)
　　　　= (3/√2)sin(ωt + 2π/3)

　t=0 を基準にします。また、フェーザ表記では、三角関数表記の最大値の「1/√2」が絶対値となります。（「実効値」といい、電圧と電流の積が直接「電力」になるように規格化するためです)

（１）正弦波交流電圧 v(t) = (3/√2)sin(ωt + 2π/3)
　　　V = (1/√2) * (3/√2) * exp( j2π/3) 　　←位相角 2π/3 だけを使った式にする
　　　　= (3/2)[ cos(2π/3) + j*sin(2π/3) ]
　　　　= -3/4 + j(3√3 /4)

（２）正弦波交流電流 i(t)=(2√2)sin(ωt + π/3)
　　　I = (1/√2) * (2√2) * exp( jπ/3) 　　←位相角 π/3 だけを使った式にする
　　　　= 2*[ cos(π/3) + j*sin(π/3) ]
　　　　= 1 + j√3

（３）インピーダンス Z は、直流のオームの法則の「抵抗」と同じように、電圧と電流の割り算で
　　　Z = V/I = [-3/4 + j(3√3 /4)]/(1 + j√3)
　　　　= [-3/4 + j(3√3 /4)](1 - j√3) / [(1 + j√3)(1 - j√3)]　←分母有理化のため、分子分母に(1 - j√3)をかける
　　　　= [-3/4 + j(3√3 /4) + j3√3 /4 - j²*(9/4) ] / (1 + 3)
　　　　= [-3/4 + 9/4 + j(3√3 /4+ 3√3 /4) ] / (1 + 3)
　　　　= 3/8 + j(3√3 /8)


　上では t=0 を基準にしましたが、たとえば「電流」を基準にすることができます。
　その場合には、電流の位相角を 0 にするため、
　　ωt + π/3 → 0
となるように位相角を -π/3 とします（ t = -π/(3ω) を基準にする） 。すると
　　v(t) = (3/√2)sin(ωt + π/3)
ということになります。

（１）正弦波交流電圧 v(t) = (3/√2)sin(ωt + π/3)
　　　V = (1/√2) * (3/√2) * exp( jπ/3) 　　←位相角 π/3 だけを使った式にする
　　　　= (3/2)[ cos(π/3) + j*sin(π/3) ]
　　　　= 3/4 + j(3√3 /4)

（２）正弦波交流電流 i(t)=(2√2)sin(ωt)
　　　I = (1/√2) * (2√2) * exp( j0) 　　←位相角 0 だけを使った式にする
　　　　= 2*[ cos(0) + j*sin(0) ]
　　　　= 2

（３）インピーダンス Z は、
　　　Z = V/I = [3/4 + j(3√3 /4)]/2
　　　　= 3/8 + j(3√3 /8)

　電流を基準にしたので、電流の虚数部がなくなり、電圧の表示も変わりましたが、その関係を示すインピーダンスは一定です。