高校物理、ケプラー問題

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質問者：tstudyhard
質問日時：2017/05/10 14:03
回答数：3件

添付画像のⅢの（１）（２）について、
（１）uf=√GM/6RE,V0=√GM/3REより、uf/V0=1/√２≒０，７１はできたのですが、
後半部分
地球の公転周期Tについて、2πRE=unTとして、un=3ufより、uf=10km/sと出したのですが、
正しくは１２km/sでした。
図で、軌道が重なっていることから地球の公転する速度＝unとしてしまったのですが、どうしてこれがいけないのでしょうか？

問題文１です

補足日時：2017/05/10 14:04
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問題文２です

補足日時：2017/05/10 14:05
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少し読みにくいので、再投稿します

補足日時：2017/05/10 14:09
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質量Mの太陽の周りを回っている質量mの小惑星がある。図のように、この小惑星および、地球の公転軌道は円とみなすことができ、その公転半径はRp、REである。
ケプラーの３法則および万有引力の法則を用いて、以下の問いに答えよ。
ただし、太陽の万有引力のみを考慮し、他の惑星の影響は無視してよい。万有引力定数をGとする。
ケプラーの３法則は次のとおりである。
①惑星は太陽を焦点とする楕円軌道を描く
②惑星と太陽とを結ぶ線分が単位時間に掃引する面積は惑星の軌道上あらゆる点で一定である。
③惑星が太陽の周りを回る周期の２条は楕円の長半径の３乗に比例する。その比例定数は惑星によらず一定である。

No.1の回答に寄せられた補足コメントです。補足日時：2017/05/10 20:09
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（Ⅰ）小惑星の速さV0をG,M,Rpであらわせ。
（Ⅱ）図のように、質量ｍ‘速さV‘の章物体が小惑星の軌道の接線方向から飛んできて、点Pで小惑星に正面衝突して一体となった。小惑星の公転の向きは変わらなかったが、小惑星の公転軌道はだえんとなった。近日点における太陽との間の距離は地球の公転半径REに等しく、遠日点における太陽との間の距離はRpに等しかった。
（１）衝突後の小惑星の速さuｆをｍ、ｍ‘、V0、V`を用いてあらわせ。
（２）衝突後、太陽からｒの距離にあり、速さVで楕円運動している小惑星の力学的エネルギーEをｍ、ｍ‘、ｒ、V、G、Mを用いてあらわせ。
（３）小惑星の近日点における速さunと遠日点における速さufとの比un/ufを求めよ。
（４）ufをG,M,RE,Rpを用いてあらわせ。

補足日時：2017/05/10 20:17
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（Ⅲ）
RpがREの３倍であるとき、以下の問いに答えよ。ただし、１年は３，１４×１０＾７秒、地球の公転半径は１，５０×１０＾８ｋｍとし、有効数字２桁で求めよ。
（１）遠日点における小惑星の速さufは衝突前の小惑星の公転速度V0の何倍か。また、ufは秒速何kmか。
（２）衝突後、小惑星が最初に近日点にやってくるのは何年後か。

補足日時：2017/05/10 20:22
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回答 (3件)

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No.3ベストアンサー

回答者： syotao
回答日時：2017/05/11 18:22

太陽と惑星の間の万有引力を仮定して、惑星の運動方程式を立てると、

惑星の質量が消えてしまうので、惑星のある位置での速度(向きも含めた速度)がおなじなら
その軌道はまったく同じになります。
これは、ある高さから、同じ向きに同じ速さで投げた物体が、その質量によらず
同じ放物線をえがくことからもわかります。
なので、地球の公転軌道上にある、この小惑星の近日点で、この小惑星が地球の公転速度を持つことは
２つの軌道がちがうので不可能です。

なのでこの場合、衝突前の地球と小惑星の間に成り立つケプラーの第３法則を使います。
すると、
地球の公転周期、小惑星の公転周期をそれぞれ、(ＴE),(TP)としたとき
(TP)²/Rp³＝(ＴE)²/,RE³　がなりたち、これにRp＝3REをいれて、V0を求め
直前で求めた　uf/V0=1/√２　にいれれば　uf＝12ｋｍ/ｓ　が出ます。