恒等式の割り算について 整式P(x)をx^2+x-6およびx^2-x-2で割った余りがそれぞれ4x+

恒等式の割り算について
整式P(x)をx^2+x-6およびx^2-x-2で割った余りがそれぞれ4x+5およびax+1であるとする。ただしaは定数とする。

(1)aの値を求めよ。

(2)P(x)をx^3+2x^2-5x-6 で割った余りを求めよ。

この問題の式をたてたところ、式の数が気になって色々やっていくうちに

x^2＋x－6 ＋ 4x＋5 ＝ x^2＋5x－1
x^2－x－2 ＋ ａx＋1 ＝ x^2＋(ａ－1)x－1

という値になり係数比較でａ＝6(問11(1)の答えも6)

x^2＋5x－1の式が (問11(2)の答え)一致していました。

たんなる偶然でしょうが、何か関係性がありそうだったら教えて欲しいです。

質問者からの補足コメント

• kuroki55さん
  すいません、よくわかりません...

    補足日時：2017/07/12 11:45

No.5 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2017/07/12 19:44

貴方のやり方は、

(1)'=(x+3)(xー2)+4x+5
(2)'=(x+1)(xー2)+ax+1

(1)'/(xー2)=x+3+｛4(xー2)+5+8｝/(xー2) =x+7+13/(xー2)
(2)'/(xー2)=x+1+｛a(xー2)+1+2a｝/(xー2)=x+1+a+(1+2a)/(xー2)
となり
私の解答で、p(2)=13=2a+1 からa=6 がでてきたのと同じ過程だからでしょう！
そして、7=1+aが成立したため同じ結果になったからでしょう！
でも、繰り返しですが、試行錯誤の結果であっても、理論上の説明ができなければ
偶々になりますし、この場合は、成立しない例をあげることで解決です！

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/07/12 19:22

1) x^2+xー6=(x+3)(xー2) ,x^2ーxー2=(x+1)(xー2) より

P(x)= (x+3)(xー2)Q1(x)+4x+5 …(1)
= (x+1)(xー2)Q2(x)+ax+1 …(2)
P(2)=2・4+5=13=2a+1
∴ a=6 …Ans1

2) x^3+2x^2ー5xー6=(xー2)(x+3)(x+1) より
(∵ 例えば x=2を代入すると0になるから)
P(x)=(xー2)(x+3)(x+1)Q3(x)+bx^2+cx+d とおけるから
P(2)=4b＋2c＋d=4・2+5=13 …(3)
P(ー3)=9bー3c+d=4・(ー3)+5=ー7 …(4)
P(ー1)=bーc+d=6・(ー1)+1=ー5 …(5)
(3)ー(4)より 3b+3c=18
∴ b+c=6 ∴ c=6ーb …(6)
(5)ー(4)より
8bー2c=ー7ー(ー5)=ー2
(6)を代入すると、b=1
よって、c=5 ,d=ー1
従って、余りは x^2+5xー1 …Ans2

さて、本題に入ると、確かに問題を解くにあたり、試行錯誤をして解答を求める
わけですが、答えよりも、その過程においての理論がなくてはなりません！
つまり、式をたてるにあたり、その説明ができないといけません！
ですが、この方法では、その理由がありませんし、実際No2の言われているように
数学は全ての場合において成り立たなければなりません！という厳密性が要求されます。
ですから、偶々と言わざるをえません！

No.3 回答者： kuroki55 回答日時： 2017/07/12 13:51

No.1です。

P(x)=(x^2+x-6)(x^2-x-1)S(x)+kx^3+lx^2+mx+n・・・（ア）と置く
(kx^3+lx^2+mx+n)/(x^2+x-6)の商を(bx+c)と置くと
kx^3+lx^2+mx+n=(x^2+x-6)(bx+c)+(4x+5)・・・・・・（イ）
(kx^3+lx^2+mx+n)/(x^2-x-2)の商を(dx+e)と置くと
kx^3+lx^2+mx+n=(x^2-x-2)(dx+e)+(ax+1)・・・・・・・（ウ）
（イ）と（ウ）より
(x^2+x-6)(bx+c)+(4x+5)=(x^2-x-2)(dx+e)+(ax+1)
係数を比較してa～eを求めます。

（2）は
P(x)=(x^2+x-6)Q(x)+4x+5=(x-2)(x+3)Q(x)+4x+5・・・・・・・（エ）
P(x)=(x^2-x-2)R(x)+ax+1=(x-2)(x+1)R(x)+ax+1・・・・・・・・（オ）
P(x)=(x^3+2x^2-5x-6)T(x)+fx^2+gx+h
=(x+3)(x-2)(x+1)T(x)+fx^2+gx+h・・・・・・・・・・・・・（カ）
（エ）と（カ）より
(x+3)(x-2)(x+1)T(x)+fx^2+gx+h=(x-2)(x+3)Q(x)+4x+5
fx^2+gx+h-4x-5=(x-2){(x+3)Q(x)-(x+3)(x+1)T(x)}
従って左辺は(x-2)で割り切れる
同様に（オ）と（カ）より
(x+3)(x-2)(x+1)T(x)+fx^2+gx+h=(x-2)(x+1)R(x)+ax+1
fx^2+gx+h-ax-1=(x-2){(x-1)R(x)-(x+3)(x+1)T(x)}
従って左辺は(x-2)で割り切れる
実際に割って、余り=0としてf,g,hを求めます。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/07/12 13:06

p(x)=x²-1として

x-2で割った余りが3
x-3で割った余りが8

これを使っても(x-2)+3 ≠ (x-3)+8

だから成立しない。

No.1 回答者： kuroki55 回答日時： 2017/07/12 11:28

参考になりますか？

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …