数学の質問です。 x^2-(k+5)x+2k+ 6 < 0 ····· ② 2x^2-9x+4>0

数学の質問です。

x^2-(k+5)x+2k+ 6 < 0 ····· ②

2x^2-9x+4>0 ...... ①




これらの不等式は判別式と不等号の向きによって答えを求めるように習いました。
6パターンに分かれている表です。

しかし、解説では判別式を使わずに


①
(2x-1)(x-4)>0

.. x <1/2 または4x

②

(ア)-1<kのとき,2<x<k+3

(イ)k-1のとき,k+3 <x<2

と、求めています。

どうしてこのようなことができるのでしょうか？

②は異符号であるから解けることはわかります。

少なくとも①はd>0であることを求める必要があると思うのです。

質問者からの補足コメント

• http://xn--y8jd2f589rt6o3mpkw9adih.com/%EF%BC%92 …
  
  これの一番上の表のことです

    補足日時：2023/07/03 17:21

No.7 ベストアンサー 回答者： AっKI 回答日時： 2023/07/04 20:05

そもそも

「判別式というのは何を判別するものだったのでしょうか？」
それが理解できていないように感じます。

判別式というのは
「2次方程式の解の種類（2つの異なる実数解ｏｒ重解ｏｒ実数解をもたない）を判別するもの」
だったはずです。

2次不等式において、左辺が因数分解できてしまうということは
不等号を等号に変えた2次方程式が実数解をもつことになるわけですから
Ｄ≧0であることは計算しなくてもわかるのです。

したがって、
左辺が因数分解できるときには
判別式を計算する必要はないのです。

因数分解できないときは
判別式を使えばよいですが、
この場合も平方完成してしまえばよいです。

リンク先の表は、あくまで解の区別をまとめたものであって
問題を解く場合には判別式は必ずいる、というものではありません。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/03 19:47

2x^2-9x+4=0

(2x-1)(x-4)=0
の解は
x=1/2,と　x=4
で両方実数だから
d>0であることを求めなくても
d>0であるとわかるのです
だから
d>0であることを求める必要はないのです

2x^2-9x+4=0
の2解は
α=1/2,β=4
だから
2x^2-9x+4>0
の解は
x<1/2,4<x
となるのです

ax^2+bx+c=(x-α)(x-β)
となる実数α<βが存在する場合は
必ずd>0となるのです
だからd>0である事を求める必要はないのです

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/03 16:18

不等式の答えの求め方は以下の通り(判別式は不要)

①
a<b
(x-a)(x-b)>0
のとき
x<a または b<x

②
a<b
(x-a)(x-b)<0
のとき
a<x<b

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/07/03 11:17

>>不等式は判別式と不等号の向きによって答えを求めるように習いました。

その様に教える方がどうかしてる。

関数をf(x)と置くと、f(x)=0の解が実数の異なる解・重解、複素数解がどうかを見る為に判別式を利用してるダケ。
y=f(x)をグラフで描いた時、x軸と2点で交わるか・接するか・交わらないかを判定する為に判別式を利用してるダケ。

a×b>0 ⇔　a>0 且つ b>0
a×b<0 ⇔　どちらかが正で他方が負
これを使って解けば良いのです。

①、②、どちらも因数分解出来るのだから簡単にa×bの形になる。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/03 11:12

判別式は

2x^2-9x+4>0
ではなく
2次方程式
2x^2-9x+4=0
の根が実数かどうかの判別を行うためのものなのです
2x^2-9x+4=0
(2x-1)(x-4)=0
の根は
x=1/2,と　x=4
で両方実数だから判別式を使うまでもなく実数だとわかる
判別式は不等式には関係ありません

x^2-(k+5)x+2k+6<0 …②

↓左辺を因数分解すると

{x-(k+3)}(x-2)<0

-1<kのとき　2<x<k+3
k<-1のとき　k+3<x<2

k=-1のとき　解無


2x^2-9x+4>0…①

↓左辺を因数分解すると

(2x-1)(x-4)>0

x<1/2 または　4<x

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2023/07/03 10:43

1) そもそも判別式dとはなんでしょうかは？

二次方程式の解が実数解であるかの判別ですね！
dの正負によって判断するのですが　もう一つ　幾何的には
グラフに作図した際　x軸と交点があるかどうかでも判別できますね！
つまり　
グラフに作図した際　x軸と交点があれば　実数解が存在するから
自動的に　d>0 となりますね！
ですから
2x^2-9x+4=0 ...... ①' とすれば
この2次方程式は　下向きで因数分解して　
x=1/2 4 で交点がありそれは実数解なので　dは不要ですね！
　判別式の意味は2通りあるので復習しましょう！

No.1 回答者： satouhiroshi 回答日時： 2023/07/03 10:41

① 2x²-9x+4>0 は、下に凸の放物線でyの値が0よりも大きくなる、xの範囲を求めれば良いのです。

yが0となるのは、xが1/2の時とxが4の時です。従って、xが1/2より小さいか、xが4よりも大きい場合に 2x²-9x+4>0 が成立します。