【漸化式】a(n+1) = 3a(n)+2n+9について

a(1) = 1
a(n+1) = 3a(n) + 2n + 9

の漸化式で以下のように計算していきました。
a(n+2) - a(n+1) =
3a(n+1) + 2n + 11
-)3a(n) + 2n + 9
＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3a(n+1) - 3a(n) + 2
3{a(n+1) - a(n)} + 2

b(n) = a(n+1) - a(n)とおくと
　b(n+1) = 3b(n) + 2　…　①
　b(1) = 13
　
　x = 3x + 2　…　②
x = -1

　①-②
　b(n+1) + 1 = 3b(n) + 3
　b(n+1) + 1 = 3(b(n) + 1)

C(n) = b(n) + 1とおくと
　C(n+1) = 3C(n)
　C(1) = 14
C(n)の一般項
　C(n) = 14×3^(n-1)

b(n)の一般項
　b(n) = 14×3^(n-1) - 1

a(n)の一般項
a(n+1) - a(n) = 14×3^(n-1) - 1

　n≧2のとき
　　　　　　(n-1)
　a(n) = 1 × Σ(14×3^(n-1) - 1)
　　　　　　(k=1)

　= 1 + 14 × {(3^(n-1) - 1) / (3 - 1)} - (n - 1)
　= 7 × 3^(n-1) - n -5

　a(n) = 7 × 3^(n-1) - n -5

答えは a(n) = 4 - n - 2 × 3^(n-1)です。
初歩的なことかもしれませんが、
どこで間違えているのか教えてはいただけないでしょうか。
よろしくお願いいたします。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/08/01 08:10

最後の

「答えは a(n) = 4 - n - 2 × 3^(n-1)です」
のところで間違えていると思われる.

どうしたってそうならないじゃん.

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
説明不足で申し訳ありません。
私が計算した結果が
　a(n) = 7 × 3^(n-1) - n -5
になり
問題の答えが
　 a(n) = 4 - n - 2 × 3^(n-1)
となっていました。
誤解を与える書き方をしてしまい申し訳ありませんでした。

お礼日時：2017/08/01 17:15

No.2 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/08/01 15:08

答えが

「a(n) = 4 - n - 2 × 3^(n-1)」
だと仮定すると、
a(1) =4 -1 -2×3^(0) =4 -1 -2=1
a(2) =4 -2 -2×3^(1) =4 -2 -6=-4

一方で、
「a(n+1) = 3a(n) + 2n + 9」
より、n=1のとき
(左辺)=a(2) =-4
(右辺)=3a(1) + 2×1 +9 =3×1 +2×1 +9 =3 +2 +9 =14
なので、
(左辺)≠(右辺)　となりますが、よろしいのですか？

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
問題の解答を鵜呑みにしていたため確認を行っていませんでした。
確かに…両辺がイコールにならないとなるとよくないですね。

ちなみに自分が計算した答えで確認してみました。
　a(n) = 7 × 3^(n-1) - n -5
　a(1) = 7 × 3^(1-1) - 1 -5 = 1
a(2) = 7 × 3^(2-1) - 2 -5 = 14
になりました。
お手数ですが、sasa-san様的には今回の私の計算結果と
計算過程は正しかったのか聞かせてはもらえないでしょうか？

以上、よろしくお願いいたします。

お礼日時：2017/08/01 17:23

No.3 ベストアンサー 回答者： deutschgoo 回答日時： 2017/08/01 22:52

もっといい方法がありますよ。

a(n+1) = 3a(n) + 2n + 9…①を変形すると
a(n+1)+α(n+1)+β=3｛a(n)+αn+β｝…②
になるとします。
②を変形すると
a(n+1)=3a(n)+2αn+2β-α
これと①を比べると
2α=2,2β-α=9
よって、α=1,β=5
よって、②より
a(n+1)+(n+1)+5=3｛a(n)+n+5｝…③
b(n)=a(n)+n+5…④とおくとb(1)=1+1+5=7
③から
b(n+1)=3b(n)
よって、
b(n)=3＾(n-1)b(1)=7･3＾(n-1)
これを④に代入すると、
a(n)=7･3＾(n-1)-n-5
となります。
参考になればうれしいです。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
今後はsasa-san様の確認方法で1度確認を行ってから質問をしたいと思います。
今回は答えの確認をしてくださったdeutschgoo様にベストアンサーにしたいと思います。
別の方法も参考にさせていただきます。
ありがとうございました。

お礼日時：2017/08/01 23:48

No.4 回答者： deutschgoo 回答日時： 2017/08/01 22:59

ちなみに、

a(n+2)-a(n+1)=3a(n+1)+2(n+1)+9-｛3a(n)+2n+9｝
なので、とりあえず、最初のところが間違えています。

No.5 回答者： deutschgoo 回答日時： 2017/08/01 23:01

本当にすいません、

間違えていませんでした。
勘違いでした。
その問題は解答が間違えています。
誤植でしょう。