微分方程式と確率微分方程式の違いを教えてください

Question

微分方程式と確率微分方程式の違いを教えてください。後者は、社会のあらゆるデータ解析や、予測にとり、必要なものと聞いていますが、違いがよく分かりません。

微分：曲線の接線の傾きを求めることにより、極大値（経済学でいう限界効用などを示す）
　　　y=x^2をxで微分する→dy/dx （あまりΔとdの違いも分かってませんが）→２ｘ
　　　ｘ^２の傾きは2xである。
積分：物理のｖ－ｘグラフなどの加速度が一定でないものの距離を面積として割り出すこと

積分は微分の逆である。

　　　　　位置　　　　    ｘ＝v0t+1/2at^2　　　　　　　　　　v0t+1/2at^2
微分する→速さ　ｖ　  dx/dt=v0+at                v0+at 更に積分する　↑∫v0dt＋atdt
更に微分する→加速度　dv/dt=a                        ↑積分する　∫adt

定積分・不定積分はまだ理解しておりません。本格的に微積を勉強したわけではないので、知識としてはこの程度ですが、よろしくお願いします。

stomachman · Accepted Answer

「積分」という名前がついていても、高校数学でやるリーマン積分とは定義が異なるものがいろいろあります。そのいろいろの中に（いろいろな）確率積分があり、その逆演算として（いろいろな）確率微分が定義されます。確率積分の一種に伊藤積分というものがあって、こいつが特に重要です。
　高校数学が身に付いていない人が確率微分方程式や伊藤積分をいきなり学ぼうとしても無理でしょう。リーマン積分はもちろんのこと、その一般化であるルベーグ積分（確率論の基礎理論に必須）や、超関数論（不規則関数を扱うのに必須）、フーリエ変換のような積分変換を勉強し、もちろん確率論をやり、さらに確率過程論が分かるようになってから手を出すべきでしょう。逆に言えば、その準備なしに取りかかっても、すぐに延々と後戻りして勉強し直さざるを得なくなるだろう、そして「分からなければ逆戻りして必要な所だけ勉強すれば良い」という作戦は数学においてはなかなか旨く行かない（なぜなら、そもそも何が「必要な所」なのかが理解できないから）ということです。
　また、やるんなら（「微分」という名前がついていても定義が異なるいろいろな微分を使って行う「微分幾何学」を応用した）情報幾何学の体系の一部として勉強すると、見通しが良いばかりか応用も広がるだろうと思います。

yhr2 · Answer

微分、積分はテキストなりでしっかり勉強していただくとして、

「確率微分方程式」とは、単純に「一つ以上の項が確率過程である微分方程式」ということです。つまり「確率変数を扱った微分方程式」。

「列車」の中に、「人を運ぶ列車」と「荷物を運ぶ列車」があって、「荷物を運ぶ列車」を「貨物列車」と呼ぶのと同じことです。

従って、「数学」用語ではなく、物理や経済学などの、確率を取り扱う「応用分野」の呼び方だと思います。
高校で「微分方程式」そのものを習うのかどうか定かではありませんが、ことさら「確率」として微分を習うことはないと思います。もっと「一般的な形」として習います。

微分方程式と確率微分方程式の違いを教えてください

「積分」という名前がついていても、高校数学でやるリーマン積分とは定義が異なるものがいろいろあります。

微分、積分はテキストなりでしっかり勉強していただくとして、

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