極限

(n!)^(1/n) as n →∞　の値は∞だと思うのですがどうするのが一番簡単にかつ初等的に示せるでしょうか？どなたかよろしくお願いいたします。

No.5 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2004/09/23 13:29

ホントだ,すいません。

逆でした。じゃぁ…

(Σlogk)/n≧(log1+logn)/2

は成り立ってませんかね？そんなわけで、

√n≦(n!)^(1/n)

から、(n!)^(1/n)→∞。

今度は,n=1から100まで調べたので,間違いはないと思います...

一応、(Σlogk)/n≧(log1+logn)/2の根拠を書いておきます。

P_kの座標を(k,logk)として、ｎ多角形P_1P_2…P_nを考えます。

この多角形の重心Ｇのy座標が(Σlogk)/n
P_1P_nの中点Ｍのy座標が(log1+logn)/2

ＧとＭのｘ座標は共に(n+1)/2で、
Ｇは直線P_1P_nより上にある事から,Ｍのｙ座標≦Ｇのy座標,すなわち

(Σlogk)/n≧(log1+logn)/2

という感じです。

再び間違っていたら,すいません。

No.6 回答者： kony0 回答日時： 2004/09/23 15:31

A[n]=(n!)^(1/n)とおきます。

(A[n+1]/A[n])^n(n+1)
=((n+1)!)^n/(n!)^(n+1)
=(n+1)^n/(n!)>1

したがって A[n+1]/A[n] > 1■

でいけませんか？

No.4 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2004/09/23 00:14

ちょっと疑問に思ったのですが、

＃３で
(n+1)/2≦(n!)^(1/n)
にｎ＝２を入れてみると
３／２＝１．５＜＝√２！＝１．４１４２…
なので、成立していないと思うのですが…

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2004/09/22 21:18

f(x)=logxは上に凸だから、任意の正数a_1,a_2,…,a_nに対して,

f(Σa_k/n)≦Σf(a_k)/n

となります。(Σはk=1 to nです。この後に出てくるΣも同様)

そこでa_k=kとしてみると

f(Σa_k/n)＝f((n+1)/2)＝log((n+1)/2)
Σf(a_k)/n＝Σlogk/n＝log((n!)^(1/n))

以上より

log((n+1)/2)≦log((n!)^(1/n))
(n+1)/2≦(n!)^(1/n)

n→∞で(n+1)/2→∞なので
(n!)^(1/n)→∞　(n→∞)

この回答への補足

-logに対して適用できる不等式ですよね？なので不等式は逆向きになるはずで下からおさえられないようですが・・・。

補足日時：2004/09/23 07:30

No.2 回答者： proto 回答日時： 2004/09/22 19:06

最後の変形、指数の所の分子分母が逆になってますが

n→∞で無限大に発散するところは同じなので
結果は変わらないと思います

この回答への補足

A^{1/(n+1)}/B^{1/n}=(A/B)^{n/(n+1)}は成り立たないように思いますが。

補足日時：2004/09/23 00:33

No.1 回答者： proto 回答日時： 2004/09/22 10:29

A_n=(n!)^(1/n)　と置くと

A_n>0で

A_(n+1)/A_n=(((n+1)!)^(1/(n+1))/((n!)^(1/n))
　　=(n+1)^(1+1/n)→∞ (n→∞)

よってA_nは無限大に発散する

この回答への補足

回答ありがとうございます。最後の式変形は正しいですか？

補足日時：2004/09/22 11:56