球上の任意の点の求め方

中心(0,0,0)、半径rの球があるとき、
球上(球の表面)の任意の点(座標(x,y,z))を求める方法を
教えていただけたらと思います。

どうぞよろしくお願いいたします。

No.1 回答者： outofafrica 回答日時： 2005/10/26 16:09

ご質問の球の方程式は

x^2 + y^2 + z^2 = r^2
です．

これがわかれば解けると思います．

この回答へのお礼

ご回答ありがとう御座います。
参考にさせていただきます！！

お礼日時：2005/10/27 00:38

No.2 回答者： taktta 回答日時： 2005/10/26 18:04

点Ｑ（ｘ、ｙ、ｚ）を（ｘ、ｙ）平面に垂直に落としそこをｐとします。

するとその点Ｐの標は（ｘ、ｙ）ですね。そしてその点の高さがｚになります。Ｐと原点Ｏ及びＱは直角三角形なのでピタゴラスの定理より、
ＱＯの長さ＝球の半径ｒとして　
（ＱＯ）の２乗＝（ＰＱ）の２乗＋（ＯＰ）の２乗、
∴ｒ^２　　　＝　ｚ^２　　　　　＋（ｘ^２+ｙ^２）
ＱＥＤ

この回答へのお礼

わかりやすい解説ありがとう御座います！
参考にさせていただきます！

お礼日時：2005/10/27 00:40

No.3 回答者： at9_am 回答日時： 2005/10/26 18:32

＃１のかたや＃２のかたの回答で良いと思いますが、もう少し簡単に。

x = l sin θ
y = l cos θ
とおくと x^2+y^2=l^2 なので
l^2 + z^2 = r^2

以上をまとめて
(x,y,z) = (l sinθ, l cosθ, ±√(r^2-l^2) )
ただし 0<=θ<360。

この回答への補足

at9_amさんのご回答とても、興味深いので１つ質問をさせてください。
すごく初歩的な質問かもしれませんが、、、
”l ”は何をさしているのでしょうか？？
もしよろしければ、ご回答よろしくお願いいたします。

補足日時：2005/10/27 00:41

No.4 回答者： noname#17965 回答日時： 2005/10/27 00:48

平面座標の表示方法で、Ｐ（ｘ、ｙ）座標の他に

曲座標表示Ｐ（ｒ、θ）があるのはご存知でしょうか。
ｒ：原点からの距離
θ：ｘ軸との角度
これを知ってることを前提としますが、曲座標の空間版があります。

Ｐ（ｒ、θ、φ）
ｒ：原点からの距離　(r≧0)
θ：線分ＯＰをｘ－ｙ平面上正射影した図形のｘ軸との角度 （０≦θ＜２π）
φ：線分ＯＰとｚ軸との角度（０≦φ≦π）

これを用いると半径ｒ（＞０）の球は以下のようになります。
ｘ＝ｒsinφcosθ
ｙ＝ｒsinφsinθ
ｚ＝ｒcosφ
０≦θ＜２π
０≦φ≦π
θとφに好きな値を代入すればｘ、ｙ、ｚが求められます。

この回答への補足

butcherjpさんに教えていただいた式をさっそく試してみたのですが、
ひとつ疑問点があります。
・半径は１とします
・Y軸を縦に取りX軸を横に取る(X-Y平面？)
・Z軸線分は０とする
求める点を(X,Y)→(1,0)とした時、
X=1
Y=0
Z=0
この座標位置を教えていただいた式に当てはめて計算すると、
X=1×0×1=0
Y=1×0×0=0
Z=1×1=1
になってしまいます。
θ、φの考え方が間違っているのかもしれませんが、
もしお時間が有りましたらご回答いただければと思います。
よろしくお願いいたします。

補足日時：2005/10/27 09:44

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
曲座標、、聞いたことがあるぐらいで、詳しくはわかっていません。。
これから調べてみたいと思います。
とても参考になりそうな公式(解？)を教えていただき
ありがとうございます！！

お礼日時：2005/10/27 09:20

No.5 ベストアンサー 回答者： noname#17965 回答日時： 2005/10/27 23:07

＃４です。

補足に回答します。
例えば半径１の球上のとある点Ｐ（x,y.z)＝(1,0,0)を曲座標表示するとどうなるか？という御質問かと理解しました。

線分ＯＰをx-y平面上に正射影したもの（ここでは線分ＯＰそのままですが）とｘ軸とななす角はθ＝０(rad)（いわゆる０度）
線分ＯＰとｚ軸とのなす角φ＝π/2(rad)（いわゆる９０度）

従って曲座標表示ではＰ（ｒ、θ、φ）＝（１、０、π/2）

確認のために式に当てはめて元のxyz座標を求めてみると
ｘ＝1*sin(π/2)*cos(0)=1*1*1=1
ｙ＝1*sin(π/2)*sin(0)=1*1*0=0
ｚ＝1*cos(π/2)=1*0=0
元の直角座標系の点Ｐ（x,y.z)＝(1,0,0)と一致するので正しいことが確認された。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
納得です。
丁寧な回答ありがとうございました。

お礼日時：2005/10/28 10:10

No.6 回答者： at9_am 回答日時： 2005/10/28 07:51

＃３です。

補足します。

> ”l ”は何をさしているのでしょうか？？

とのことですが、求めたい点(x,y,z)の z で xy 平面と水平に球を切ったときの半径になります。
とはいえ、これを求めるのは面倒なので、パラメータとして用いる事になるでしょう。