整数の性質 「連続する3整数の積n×(n＋1)×(n＋2)が、必ず６の倍数となることを証明しなさい。

整数の性質

「連続する3整数の積n×(n＋1)×(n＋2)が、必ず６の倍数となることを証明しなさい。」

という問題について、

以前にも質問させていただいたのですが、自分でやってみるとよくわからなくなりました。

解答には、

「n=3kまたは3k＋1,または3k＋2(k：整数)の3通りに分類して調べる。」

と書いてあるのですが、何故このようなことが思い付くのでしょうか？
また、なぜn=2kまたは、2k＋1, などで考えてはダメなのでしょうか？

回答よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2017/12/07 19:47

「n=3kまたは3k＋1,または3k＋2(k：整数)の3通りに分類して調べる。

」
と書いてあるのですが、何故このようなことが思い付くのでしょうか？

＞逆算して考えているという事ではないですか。
６の倍数となることを証明する⇔n×(n＋1)×(n＋2)が２の倍数でありかつ３の倍数でもある、
つまりn×(n＋1)×(n＋2)の３つのカッコのいづれかかが　２の倍数　残りの２つのカッコのうちどちらかが３の倍数
と証明すればよい。

ならば、n=3kまたは3k＋1,または3k＋2とおけば　カッコ３つのうち１つは３の倍数にすることができる。
さらに、残ったカッコは２の倍数になってくれる

と、こういう思考過程なんでしょうね！


n=2kまたは、2k＋1, などで考えてはダメなのでしょうか？
＞できないことは無いと思いますが・・・
n=3kまたは3k＋1,または3k＋2(k：整数)の3通りに分類して調べる。ほうが楽でしょうね＾＾￥

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2017/12/19 18:47

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/12/08 17:11

>>何故このようなことが思い付くのでしょうか？

>>また、なぜn=2kまたは、2k＋1, などで考えてはダメ？

6は2の倍数かつ3の倍数。
n(n＋1)(n＋2)はnが偶数・奇数いずれでも有っても偶数、つまり2の倍数。

後は3の倍数にもなる事を言えば良い訳。

任意の整数は
・2k、2k+1
・3k、3k+1、3k+2
・4k、4k+1、4k+2、4k+3
・5k、5k+1、5k+2、5k+3、5k+4
・・・以下延々、で表せる。

3の倍数かどうかを調べる訳だから、3による分類で調べる。
これが確実で手っ取り早い、のが理由。

4による分類で3の倍数になるかどうかって、逆にドーやるの？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2017/12/19 18:46

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/12/07 19:48

6の倍数とは、2・3だから2の倍数かつ3の倍数であることを証明すれば良い！

書かれているように、2k 2k+1は、2の倍数に使われようとしているが、

連続する数は、偶数ー奇数ー偶数ー奇数と交互にくるので、上記のように置く必要性がない

が、3の倍数は、連続する場合は、余りが0,1,2との繰り返しになるので、場合わけが必要

である。つまり、n=3k ,3k+1 ,3kー1

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2017/12/19 18:46