数学Aの整数の性質について質問です! 写真の問題（あまりによる整数の分類の利用）について教えてほしい

数学Aの整数の性質について質問です!
写真の問題（あまりによる整数の分類の利用）について教えてほしいことがあります。
カッコ1の問題のように、2の剰余でnを表すのは、2がくくりやすいからでしょうか?
すべての整数はmk+1,mk+2,····,mk+（m-1）として表され、mはどんな数でもすべての整数は示せますよね、
ですので、別に2kとして表さなくてもいいけど、、3とかだと、2の倍数としてくくりにくいから、（証明しづらいから）2の剰余でしてるって感じでいいでしょうか?！

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/02 17:19

問題が

n^2+5n+1
を

2で割った余りは1である

ことを証明するのだから

2の剰余でnを表すのです

偶数+偶数=偶数
偶数+奇数=奇数+偶数=奇数
奇数+奇数=偶数

偶数*ｘ＝偶数
奇数*奇数=奇数

と和積の演算について閉じているから

この回答へのお礼

ありがとうございます_(._.)_

お礼日時：2024/05/02 21:36

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/05/02 17:42

＞カッコ1の問題のように、2の剰余でnを表すのは、2がくくりやすいからでしょうか?

いやいや、「くくりやすい」とか「くくりにくい」ではなくて、「目的とする数を2で割ったときの余り」を調べたいわけです。

n^2 + 5n の部分は、「n が偶数なら、偶数になる」ことは明らかなので、「じゃあ、n が奇数ならどうなるか」を調べれば、すべての n について調べたことになります。
結果として「n が奇数でも、n^2 + 5n の部分は偶数になる」となることが分かるので、「n^2 + 5n + 1」の「+ 1」の部分が、n の如何にかかわらず「２で割ったときの余りになる」ということが分かるわけです。

あなたのように、「n が３の倍数かどうか」とか「n が５の倍数かどうか」での「すべての n の表記」で考えてもよいけれど、それで最終的な「2で割ったときの余り」をどう評価するのですか？
そういう「全体の戦略」を考えないといけません。

＞って感じでいいでしょうか?！

そんな感じでよいですが、あなた自身で、n が「3k, 3k+1, 3k+2」の場合でどうなるか、やってみましたか？
やってみれば、そんな感じである意味が分かると思います。

この回答へのお礼

つまり自分の考えでいいということですよね？ありがとうございます_(._.)_

お礼日時：2024/05/02 21:36

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/05/02 17:52

そんな感じです

(１)は
公式:割られる数＝割る数×商+あまり
により
n²+５n+１＝２×整数(商)+１
と言う形に表されれば、２で割ったとき１余ると言えるから
２×整数の形を作らなければいけません。
そのためには、n＝２K、n＝２K+１
とするのが最適であり、楽なのです
(別の置き方だと、証明できたとしても余分な労力が必要になるし、最悪の場合は証明できなくなることもあるかもしれません)

この回答へのお礼

そうですよね!ありがとうございます!

お礼日時：2024/05/02 18:38

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/02 18:27

要するに、場合分けですからね。

(1) は、
ｎ を 2 で割った余りの値で場合分けすれば、
各場合での n²+５n+１ を 2 で割った余りが
それぞれひとつの値に定まるので、
この場合分けが扱い易いのです。

(2) も、
n を 3 で割った余りの値で場合分けをすれば
各場合での n²+１ を 3 で割った余りが
それぞれひとつの値に定まるので、
この場合分けが扱い易い。

これが、例えば (1) の問題で
n を 3 で割った余りで場合分けをしてみても、
各場合での n²+５n+１ を 2 で割った余り
の値が定まらないので、
その場合分けは、この問題には向かない。
もとマシなことを考えたほうがいい...って話になります。
そこが見通せての場合分けかどうかってことです。

この回答へのお礼

いつもありがとうございます!
それで良かったんですね!

お礼日時：2024/05/02 18:57