√7が無理数であることの証明

√7は無理数であることを証明せよ。ただし、nを自然数とする時、n^2が7の倍数ならば、ｎは7の倍数であることを用いてもよいものとうする。

解　√7が無理数でないと仮定すると,１以外に公約数を持たない自然数a,bを用いて√7=a/bと表される・・・・・以下省

教えてほしいところ
有理数というのはa,ｂという整数を用いてa/bと表される数とかいてありました。
この記述だと、49/7は有理数じゃないと言っているように思えます。
いいんでしょうか？？
また、自然数と限定しているのも疑問です。-3と-2で-3/-2これも有理数でさらに正です。
これを除外すると-3/-2は有理数じゃないということになります。
これは除外して考えてはいけないのでは？？

No.2 ベストアンサー 回答者： WiredLogic 回答日時： 2011/03/26 00:26

49/7 も (-3)/(-2) も有理数ですし、そういうものを一切排除しないで(まぁ、分母が0になるときだけは、排除しないといけませんが^^)、証明しようと思えば、できることはできます。

ただし、そういう証明は、長くなるし、細かいチェックポイントが多いので、面倒くさくなる。どうせ、49/7 = 7 (=7/1)、(-3)/(-2) = 3/2 なんだから、そういう同じ値になる有理数は、まとめて、代表を１つ選んで、それで間に合わせるようにした方が簡単で、面倒がありません。

なので、正の有理数は「１以外に公約数を持たない自然数a,bを用いて」a/b と表すことができる、というのは、それ以外は有理数でない、という主張ではなく、それ以外の有理数があっても、それと同じ値の奴が、必ず代表選手に含まれているから、そこまで考えても、有理数になるかならないかの判断には影響しない、と、言っているだけに過ぎません。

本当は、学校で、√2 が無理数になる証明をするところで、先生にはそのへんの話もしてほしいところですが、質問者さんも、授業中にこれと同じ質問をしておけば、実際にはそこんところで納得いってないお友達も(決して質問者さんだけではないはず)助かっていたと思います。まぁ、自分で問題を解く段階になって、初めて疑問が湧いてきた、ということかもしれませんが。

この回答へのお礼

ありがとう

お礼日時：2011/03/26 09:50

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2011/03/26 08:55

有理数というのは a, b という整数を用いて a/b と表す「ことができる」数です。

a, b の絶対値を A, B とし、A, B の最大公約数を G とすると、
最大公約数の定義により、A = GX, B = GY で、X, Y は 1 以外に公約数を持たない
ような自然数 X, Y があることになります。
この X, Y によって、a/b = X/Y または a/b = -X/Y がなりたちます。
X/Y のように 分子分母が 1 以外に公約数を持たない分数を「規約分数」といい、
有理数は、必ず既約分数で表すことができます。

49/7 = 7/1 ですから、a = 7, b = 1 の a/b で表すことができるし、
(-3)/(-2) = 3/2 ですから、a = 3, b = 2 の a/b で表すことができます。

尚、貴方が読んだ文献で a, b を自然数に限定しているのは、
恐らく、「正の」有理数だけを考えているからでしょう。
√7, 49/7, (-3)/(-2) は、どれも正の有理数なので、それで上手くいきます。

負の有理数まで含んで、ちゃんと全ての有理数を考えるときには、
a/b = -X/Y となる場合を無視してはいけませんから、
有理数というのは a, b という「整数」を用いて a/b と表すことができる数
であることを思い出す必要があります。

No.3 回答者： momordica 回答日時： 2011/03/26 02:03

√7が正の有理数なら、√7=a/bを満たし、かつ1以外に公約数を持たない自然数

であるようなa,bの組が存在すると言っているだけです。
aとbが1以外の公約数を持つ整数の組であるような形で表せないとも、共に負の数
であるような形で表せないとも言っていません。

例えば、あなたの言う49/7も(-3)/(-2)も正の有理数なので、それぞれ

　a=7, b=1 とすると、49/7=a/b

　a=3, b=2 とすると、(-3)/(-2)=a/b

のように、１以外に公約数を持たない自然数a,bを用いてa/bの形で表せますよね。

何か問題でも?

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2011/03/25 23:43

＞有理数というのはa,ｂという整数を用いてa/bと表される数とかいてありました。

この記述から、

＞この記述だと、49/7は有理数じゃないと言っているように思えます。

なぜこの結論が出るのかがわかりません。
a=49, b=7 という整数を用いて、49/7 と表わすことができる数は有理数ですよね？


自然数に限定しているのは、この種の問題では正負の符号を意識する必要がないためだと思われます。

この回答への補足

１以外に公約数を持たない自然数a,bを用いてとあるためです。

補足日時：2011/03/26 00:05