整数の性質
「連続する3整数の積n×(n+1)×(n+2)が、必ず6の倍数となることを証明しなさい。」
という問題について、
以前にも質問させていただいたのですが、自分でやってみるとよくわからなくなりました。
解答には、
「n=3kまたは3k+1,または3k+2(k:整数)の3通りに分類して調べる。」
と書いてあるのですが、何故このようなことが思い付くのでしょうか?
また、なぜn=2kまたは、2k+1, などで考えてはダメなのでしょうか?
回答よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
「n=3kまたは3k+1,または3k+2(k:整数)の3通りに分類して調べる。
」と書いてあるのですが、何故このようなことが思い付くのでしょうか?
>逆算して考えているという事ではないですか。
6の倍数となることを証明する⇔n×(n+1)×(n+2)が2の倍数でありかつ3の倍数でもある、
つまりn×(n+1)×(n+2)の3つのカッコのいづれかかが 2の倍数 残りの2つのカッコのうちどちらかが3の倍数
と証明すればよい。
ならば、n=3kまたは3k+1,または3k+2とおけば カッコ3つのうち1つは3の倍数にすることができる。
さらに、残ったカッコは2の倍数になってくれる
と、こういう思考過程なんでしょうね!
n=2kまたは、2k+1, などで考えてはダメなのでしょうか?
>できないことは無いと思いますが・・・
n=3kまたは3k+1,または3k+2(k:整数)の3通りに分類して調べる。ほうが楽でしょうね^^¥
No.2
- 回答日時:
6の倍数とは、2・3だから2の倍数かつ3の倍数であることを証明すれば良い!
書かれているように、2k 2k+1は、2の倍数に使われようとしているが、
連続する数は、偶数ー奇数ー偶数ー奇数と交互にくるので、上記のように置く必要性がない
が、3の倍数は、連続する場合は、余りが0,1,2との繰り返しになるので、場合わけが必要
である。つまり、n=3k ,3k+1 ,3kー1
No.3
- 回答日時:
>>何故このようなことが思い付くのでしょうか?
>>また、なぜn=2kまたは、2k+1, などで考えてはダメ?
6は2の倍数かつ3の倍数。
n(n+1)(n+2)はnが偶数・奇数いずれでも有っても偶数、つまり2の倍数。
後は3の倍数にもなる事を言えば良い訳。
任意の整数は
・2k、2k+1
・3k、3k+1、3k+2
・4k、4k+1、4k+2、4k+3
・5k、5k+1、5k+2、5k+3、5k+4
・・・以下延々、で表せる。
3の倍数かどうかを調べる訳だから、3による分類で調べる。
これが確実で手っ取り早い、のが理由。
4による分類で3の倍数になるかどうかって、逆にドーやるの?
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