物理：1回転するジェットコースター、円筒内が摩擦ありのとき

図のように、なめらかな斜面の上に質量ｍの小物体をのせ、高さhから自由落下させる。地上には半径rの円筒内があり、斜面となめらかに接しており、小物体は斜面を落下した後円筒内を運動する。重力加速度をgとし、小物体が円筒内を1回転する条件を求めなさい。ただし小物体は紙面垂直内のみ運動するものとし、空気抵抗は無視できるものとする。

円筒内が摩擦なしのときは、運動方程式と力学的エネルギー保存則からh≧5/2rです。
でも摩擦ありのときはどうなるんでしょうか？円筒内の静止摩擦係数をμ、動摩擦係数をμ´として、μ＞μ´とします。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/12/25 11:25

No.1です。

＞浪人生です。
＞物理の重要問題集を8周し、高校物理をそれなりに理解しているつもりです。

高校物理、高校数学の範囲では、どう逆立ちしても無理です。
詳しくは大学で学んでください。

考え方としては、円筒内で働く力（重力を半径方向、接線方向に分解したものと、それに対応する向心力、摩擦力）を求め、それによる運動方程式を立てます。

円筒内部での周速度を v として
向心力：mv^2 /r
摩擦力：μ´mv^2 /r
円筒内の運動方程式：最下端からの回転角をθとして
・半径方向：
　mv^2 /r = mg*cosθ　　①
・円周方向　
　m*dv/dt = -mg*sinθ - μ´mv^2 /r
①および v = r*dθ/dt を使って
　m*r*d²θ/dt² = -mg*sinθ - μ´mg*cosθ　　②
θ=0 のときの初速度が v0=√(2gh)

②を解いて、時間 t の関数としての θ を求め、 θ=パイ のときの速度（または角速度）での遠心力が重力よりも大きくなる（糸の張力が正の値を保つ） h の値を求めればよいです。

ただし、この微分方程式は、簡単には解けません。
摩擦がないときでも、厳密解は求まりません。
これは一種の「単振り子」なので、こんなサイトを参考に。
https://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support …

まさつがある場合の「ばね」の単振動であれば、こんなサイトを参考に。「円運動」ではなく「直線運動」なので解きやすいです。
https://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support …

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/12/25 00:26

これは微分方程式組んで、数値シミュレーションが

必要そうですね。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/12/24 17:42

高校生ですか？

摩擦力は「垂直抗力」に「動摩擦係数」をかけた大きさになりますが、円筒内の「周速度」は時々刻々変わり、「垂直抗力」に対応する遠心力もこれに伴って時々刻々変わりますので、正確には「時間」の関数で記述した「微分方程式」を解く必要があります。（静止摩擦係数は関係しません）

大学生以上であれば微分方程式を立てて解けばよいのですが、高校生では無理です。

質問者さんの「レベル」を書いてもらえれば、追加の回答ができると思います。

この回答へのお礼

浪人生です。レベルというか志望校は個人情報なので言えませんが、物理の重要問題集を8周し、高校物理をそれなりに理解しているつもりです。微分方程式は数Ⅲで少し学んだ程度なので理解できるかどうか分かりませんが、大学生になって意味が分かることもあると思うので、大学内容でも構いません。証明よろしくお願いします。

お礼日時：2017/12/24 18:15