回転する円盤、摩擦の向きと摩擦のする仕事。なぜ

Question

こんにちは、現在一点質問させて頂いておりますが、もう一点お伺いしたい
ことがありどうか宜しくお願いします。

回転する円盤にかかる摩擦力についての質問です。
図のように水平面を回転する円盤があり、その上端にはある質量の物体（緑色）
が載っているとします。円盤は滑らずに回転しています。
今、円盤が私たちからみて反時計回りに回っている場合、

（１）円盤「が」、床「から」、受ける摩擦力の向きは、左右どちらでしょうか。
滑らずに、とあるため、静止摩擦力が働いており、その向きは左向きと思いま
す（そして同時に円盤は床に摩擦力を与え、その向きは右と考えて
います）。けれども、何となくそう思うだけで、明確な理由が分かりません。
右向きなのかと言われたら、そうかも知れないと思ってしまうくらい、理由がはっきりしません。
もしかしたら、円盤の回転方向だけではどうにも分からないことなのでしょうか。

（２）また、円盤「が」、物体（緑色）「から」受ける摩擦力はどうでしょうか。
これは右向きと思います。しかしながあら、上と同じく、明確な理由がありません。
どうかお教え下さい。

（３）さらに、もともとも問題は添付の図の最下段のような状況でして、
静止状態にあった緑色の物体が、10Nの力で左に引っ張られています。
円盤の重さ、半径、物体の重さが与えられており、2.5秒後の緑色物体の速度
を求めよ、という問題です。

模範解答では、10Nの力がした仕事　= 運動エネルギーの変化（物体と円盤の線速度
、円盤の回転運動）

という式を立てて解いており、（１）（２）で挙げた摩擦の仕事が入っていません。
なぜ、摩擦のした仕事は負でも正でもなく、ゼロなのでしょうか。
物体の進行方向と同じ向きまたは正反対の向きに力をもち、その物体はある距離進んで
いれば、正または負の仕事をすることになると思うのです。ところが、摩擦のした仕事は
なく、外力（10N）がした仕事だけで解いています。まったく分からず、悩んでおります。
基本的なことと思いますが、どうにも分かりません。
どうか、ヒントだけでも頂きたく、宜しくお願い致します。

tknakamuri · Accepted Answer

混沌としてきたので、ちょっと整理してみます。

まず話を、円盤と床だけにして、外力を
円盤の中心に加える場合と、円盤の上端に加える場合で
考えてみます。

円盤の移動方向は左をプラスとし、角度は反時計回りを
プラスとします。

円盤の角加速度をα、円盤の重心の加速度をa、外力を f1(左向きをプラス) ,
床から円盤への 静止摩擦を f2(左向きをプラス), 円盤の半径を r 
円盤の重さを M とすると、

1) 円盤の中心に外力 f1 を加える場合

並進運動の方程式 M a = f1 + f2
回転運動の方程式 (1/2)r^2 M α = -rf2
束縛条件 rα = a

整理すると f1 + f2 = -2f2 → f2 = -(1/3)f1

静止摩擦は外力の 1/3 で「右向き」になります。

つまり、中心を押すと、静止摩擦によってトルク(反時計回り)が
発生し、円盤は左方向へ加速します。

2) 円盤の上端に外力 f1 を加える場合

並進運動の方程式 M a = f1 + f2
回転運動の方程式 (1/2)r^2 M α = rf1 - rf2
束縛条件 rα = a

整理すると f1 + f2 = 2f1 - 2f2 → f2 = (1/3)f1

静止摩擦は外力の 1/3 で「左向き」になります。

つまり、上端を押すと、外力でトルク(反時計回り)が
発生し、円盤は左方向へ加速します。
外力による回転に反発して回転に逆らう静止摩擦が発生するという図式になります。

以上ですが、円盤の回転方向と静止摩擦の方向は全く
無関係であることに注意してください。運動方程式に
回転速度は全く出てきません。

＃全部オンラインなので、間違いが無いことを祈ってます(^^;

htms42 · Answer

水平な床の上を円盤が滑らずに転がっています（当然「円盤は変形しない」ということも前提になっています）。

この場合の摩擦力は静止摩擦力です。
ずれが生じていないので動摩擦力ではありません。
ずれの生じる場合しかエネルギーの移動は起こりません。
静止摩擦力は仕事をしないというのは「静止摩擦力とは」という定義から出てくると考えてもいいのではないでしょうか。

（仕事は「力とその力によって生じる力の方向への動き」で決まります。「滑らずに転がる」という条件が成り立っていれば力の方向への変位は存在しません。「円盤は動いているではないか」と考えているのかもしれませんが力の働いている場所と離れたところで起こった（力の作用線上にない）変位は仕事の中に持ち込んではいけないのです。回転に伴って接点が移動する、くっついていた点が離れるというのも変位ではないかと考えるかもしてませんがその場合の変位は力と垂直な方向に起こっています。）

最後の問題で外力だけが仕事をするとしているのがどうして納得できないのでしょうか。

※「転がり摩擦」というのは「変形しない」、「滑らずに転がる」が理想的には成り立っていないということからくるものです。小さなずれや変形によって起こるエネルギーのロスに対応するものです。従って剛体の問題では普通考える必要のないものです。

Quarks · Answer

私の推論に誤りがありました。

ANo.7の yokkun831さんの回答を読んで、私の推測に誤りがあったことを知りました。

jecclさんが ANo.4への補足で設けた場合分けに従って、改めて考察します。

>１）左向きの外力が上でも下でもなく中央ならば、（略）
>静止摩擦力は右向きです。

結果はその通りです。
なお、理由付けはちょっと違います。外力が最大摩擦力を超えるほど大きくなくても、回転は始まります。私なりに書けば、次のようになります。
回転が生じないので、円盤の下端は床面に対して左向きに移動しようとしますから、静止摩擦力がそれを妨げるような向き（右向き）に発生する。

>３）左向きの外力が、円盤の下部に掛かるとすると、円盤はその外力がもた
>らすトルクで回転するようになり、その回転の方向は時計回りのはずです。
>この時の静止摩擦力は右向きではないでしょうか。

その通りです。ただ、細かいことですが
「円盤はその外力がもたらすトルクで回転する」
というくだりは
円盤はその外力がもたらすトルクで、右回りに"回転しようとする"
という意味でしょうか。静止摩擦力は、その回転を妨げるように（つまり右向きに）働く。

>２）左向きの外力が、円盤の上部に掛かるとすると、円盤はその外力がもたら
>すトルクで回転するようになり、その回転の向きは反時計回りのはずです。

ここまでは正しいです。

>このときの静止摩擦力は、その外力がもたらすトルクを減じるトルクを生じさ
>せる向きに働き、左向きではないでしょうか（摩擦力によって、時計回りのト
>ルクが生じる）。

ここが問題の箇所でした。
結論から先に記しますと、確かに静止摩擦力が左向きに作用することもあるようです（この点は私の方が認識不足でした）。しかし、ことは単純ではなく、外力が加わる高さによって、摩擦力の方向は、右向きであったり、左向きであったり、摩擦力が働かなかったりするようです。

詳しく解析してみます。

半径Ｒ,質量ｍの円盤を粗い水平面上に置きます。
円盤の中心Ｏから、鉛直方向上にｒ（ｒ＜＝Ｒ）だけ高い高さに、力ｆ１を左向きに加えたときの運動を考えます。
床面から円盤の下端が受ける静止摩擦力が、右向きにｆ２だったと仮定します。
円盤の運動は、２つに分けられます。
（ア）重心の並進運動
左向きを正の方向とし、重心の並進運動の速度をｖとすると
ｆ１－ｆ２＝ｍ・dｖ/dt
（イ）円盤の、中心の回りの回転運動
左回りを正の方向とし、回転の角速度をωとすると
ｆ１・ｒ＋ｆ２・Ｒ＝{(1/2)mR^2}・dω/dt
円盤に加わる摩擦力が静止摩擦力と仮定したので、床との接点は滑りませんから
円盤の、周縁部分の回転速度　ｗについては
ｗ＝Ｒω＝ｖ
の関係が成り立ちます。よって
Ｒ・dω/dt=dｖ/dt
も成立しています。

これらを集約すると
３・ｆ２＝(1－(2r)/R）・ｆ１
となりますので
(a)0<r<R/2 の範囲では f2>0　つまり、右向き。
(b)r=R/2では、f2=0　つまり、摩擦は働かない。床面が滑らかでも、円盤は回転しながら左へ進む。
(c)(R/2)<r<Rでは、f2<0　つまり、左向き。
ということになるようです。

yokkun831 · Answer

簡単のため円盤（コロ）を１個とします。
図のようにおき，加速度をa，コロの角速度をωとします。

板の運動方程式
M・2a = F - f_1

コロの運動方程式
ma = f_1 - f_2

コロの回転の方程式
I・ω' = (f_1 + f_2)r　，　 I = mr^2/2

すべらないで転がる束縛条件
a = rω

以上を連立させると，

a = F/(2M + 3m/4)
f_1 = 3mF/(8M + 3m)
f_2 = -mF/(8M + 3m)

を得ます。f_2<0により，コロが受ける摩擦力は上下で同一方向になります。

また，コロの速さをvとするとき，
-f1×2v + (f1×v + f1r×ω) = 0
ですから，f1が系にする仕事はゼロ。
-f2×v + f2r×ω = 0
より，f2が系にする仕事もゼロ。

つまり，それぞれの静止摩擦力が「系に」する仕事がゼロということになります。

Quarks · Answer

円盤であっても、矩形であっても　同じなのですが…
円盤だと回転が始まるのが気になるのでしょうか。でも、矩形だって回転しますよ。

了解しやすいように、横幅に較べて背が高い矩形を考えましょう。これを粗い面において、矩形の適当な高さの点を左に引いたとしましょう。引く点の高さはどこに設定しても同じことになります。
静止摩擦力が働いて、矩形は滑らないとしても、引く力が大きければ左に倒れるのは容易に想像できるはずです。
倒れる＝回転する
です。
回転し始める直前で考えたら、静止摩擦力は右向きだということには同意していただけるでしょう。
では倒れ始めるときはどうですか？　静止摩擦力の向きが逆転するなどということは起こりうるでしょうか？　そんなことはあり得ないことは納得なされるのではないでしょうか。

tknakamuri · Answer

>「反統計回りに回っている限り」、
>静止摩擦は左向きではないでしょうか。

なぜそう考えるのでしょう？？？？
根拠は？

自動車が加速しているときと減速しているときで
車の回転方向は同じですが、地面から車への静止摩擦の
向きは逆ですよね。

Quarks · Answer

>円盤は反時計回りに回っており、左方向に進んでおります。しかし、床と円盤の境界にフォーカス
>して着目しますと、円盤は床に対して相対的に右に進んでおります。

いいえ、そうではありません。
円盤は、"接地点"を中心にして、左回りに回転しているのです（添付図参照）。接地点そのものは移動していません。

回転ということをちょっと忘れてみませんか？
円盤は、左向きに(摩擦力でない別の)力を受けているのですから、回転などしないで、左に移動しようとしている状態です。
床に矩形の物体を置いて、左にF[N]で引いたが物体は動かなかった。これは、静止摩擦力が働いているからです。このときの静止摩擦力は、右向きにF[N]です。
滑りがないのですから、矩形の物体が円盤に変わっても同じです。

添付図への解説
半径ｒの円盤が反時計回りに、角速度ωで、回転しています。床面とは滑らずに回転しています。
Ｏ点からＰを見ると、左方向に　ｖ＝ｒω　で移動中であるように見えるはずです。
一方Ｏもまた、ｖで左に移動中です。ということは、静止している観察者から見たら、Ｐは２ｖで移動中であるということになります。Ｏから見たＰの速度は相対速度ですから、２ｖ－ｖ＝ｖで移動中であると見えたわけです。
「静止した観察者から見た」とは、「Ｑ点から見た」と同じことです。
ということはＰ点は半径ＱＰ＝２ｒで、角速度ωで回転している状態だということです。
つまり、Ｑを中心として回転している。これは、円盤のＱの点は全く動いていないことを意味しているわけです。

tknakamuri · Answer

No.1 です。もうすこし噛み砕いてみました。

もし、物体が同じ速度で動き続け、円盤が同じ速度で
まわっているなら、物体と円盤の間の静止摩擦は 0 になります。

もし、物体と円盤の間に静止摩擦があれば、
物体の速度が変化するはずです。

円盤と床との間に静止摩擦が有れば、円盤の回転速度が
変化します。

つまり、転がり摩擦の無い理想的な状況を考えると、
静止摩擦がどうなるかは、物体が増速しているか、減速しているか
で決まり、円盤の回転方向とは関係ありません。

次にエネルギーに関してですが、

円盤と床との間の静止摩擦は作用点(にある物体)が動かないので仕事を
しません。

物体と円盤の間の静止摩擦は作用点(にある物質)が動いているので仕事をします。
但し、物体と円盤でされる仕事の符号が逆なので、全体としては
０になります。

なので、系全体のエネルギー量を利用して計算を行う場合、
静止摩擦に依るエネルギーの授受は無視して問題ありません。

このような力を束縛力とか拘束力とか呼びますが、静止摩擦の他に

伸び縮のない質量の無い理想的な紐のひもの張力、
無限に堅い物体間に働く垂直抗力 などが有ります。

もちろんこれらも系全体のエネルギーを増やしたり、減らしたりしません。

Quarks · Answer

摩擦力は、物体の運動を妨げる向きに働く。　　これが基本です。定性的な判断をするには、この基本を活用すると良いでしょう。
・もし、摩擦力が無かったらどんな運動になるのだろうか？
・摩擦力はその運動を妨げるように働くのだから…
と、思考を進めるのです。
　
(1)　円盤は、摩擦力以外の何らかの力を受けて移動させられているのですよね。
もし、床面との間に摩擦力が無ければ、回転せずに左に移動してしまいますね。円盤と床面との接点を、床から見ると、左に移動して見えるはずです。摩擦力は、この運動を妨げているはずですから、床面から円盤に掛かる摩擦力は、「右向き」です。

(2)　状況設定条件に不備があるので、わからない、というのが答です。一応、次の２つの状況設定が考えられますから、それぞれについて考えてみましょう。
（ア）矩形には元々力が働いていて、左に動いていて、その動きに引きずれて、円盤が回転している。
摩擦力が無かったら、円盤は回転しません。矩形との接点を矩形から見ると、矩形の動く方向と逆の向き（右向き）に円盤が移動していくように見えるはずです。摩擦力は、この運動を妨げるのですから、この場合は、
円盤に掛かる摩擦力は、左向きです。

（イ）矩形は円盤からの摩擦力によって動いている。摩擦力が無ければ、矩形は動けない。
摩擦力が無ければ、円盤は左回転して、矩形は移動しない、という条件です。矩形から、接点付近を見ると、円盤は左に移動しているわけです。摩擦力はこの運動を妨げるのですから、この場合は、円盤に掛かる摩擦力は、右向きです。

(3)静止摩擦力は、物体を移動させません（止まっている物体を止めた状態に止めようとする力なのですから、移動を伴わないのです）。
移動量が０なら仕事は０です※

車輪のように、回転する物体が、接触平面から受ける摩擦力は、"ころがり摩擦"と呼ばれますが、接点付近では互いの相対的なズレ（滑り）はありませんから、摩擦力の仕事を考える際には、静止摩擦力の一種とみなして構いません。

※床と円盤の場合を例にします。
円盤には右向きの摩擦力が働いていて、円盤は左に移動しているのだから
摩擦力は負の仕事をしているように思えてしまいますよね。
でもそうではないのです。
摩擦力は接点に作用しています。ころがり摩擦の場合、円盤と床面との接触点は時々刻々変わっていくことに注目しなければなりません。
ある瞬間、円盤のA点が床と接していても、次の瞬間には、B点が接点となります。
A点は、無限小の時間だけ接していたのです。その間は、静止摩擦力の性質から、滑りが無いのですから、A点の"移動"も０なのです。

物体が床面を、動摩擦力を受けて移動する時との違いを理解すべきです。動摩擦力を受けて物体が移動する時、接触点（接触面のすべての点です）が、摩擦力を受けている間、床に対して移動するのは明らかです。無限小の時間でも、無限小の距離だけ移動しているのです。これなら、仕事Ｗ＝力×(0でない)移動距離×cos180°ですから、W<0 と判断できます。

tknakamuri · Answer

1), 2) 静止摩擦の向きは 物体の運動状態によります。
回転の向きだけでは求まりません。

3) 物理ではこのような力を「束縛力」と呼びます。
「束縛力」は常に反対向きの力が対で発生し、
作用点でエネルギーの授受は行われますが、
全体としてのエネルギーの
消費はありません。

対の力は反対向きで、作用点を共有しているので、
エネルギーの大きさは同じで符号が逆で、合計値が
０になるからです。

回転する円盤、摩擦の向きと摩擦のする仕事。なぜ

混沌としてきたので、ちょっと整理してみます。

水平な床の上を円盤が滑らずに転がっています（当然「円盤は変形しない」ということも前提になっています）。

私の推論に誤りがありました。

簡単のため円盤（コロ）を１個とします。

円盤であっても、矩形であっても 同じなのですが…

>「反統計回りに回っている限り」、

>円盤は反時計回りに回っており、左方向に進んでおります。

No.1 です。

摩擦力は、物体の運動を妨げる向きに働く。

1), 2) 静止摩擦の向きは 物体の運動状態によります。

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