剛体の回転運動についての質問です。以下の問題を解いて見たのですが、あっているのか不安なので、教えて

Question

剛体の回転運動についての質問です。
以下の問題を解いて見たのですが、あっているのか不安なので、教えていただけると幸いです。

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半径r、全質量mで密度が一様な円板が水平な床面上を転がる場合を考える。
床面との接触点におけるエネルギー損失や転がり抵抗、空気抵抗は無視できる。重力加速度はgとする。

床面に静止している状態の円板に対して、その中心に床面に水平な力Fを作用させることで円板を加速する場合を考える。

円板と床の静止摩擦係数をμとするとき、円板が滑らずに床面を転がるための水平の力Fに対する条件を求めよ。
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私は最大静止摩擦力より大きい、というのが答えではないかと考えたのですが、合っているでしょうか？
F>μmg

tknakamuri · Accepted Answer

円盤の慣性モーメントは I=(1/2)mr^2
運動方程式は、静止摩擦が十分大きいとすると
静止摩擦を P とすれば、角加速度をαとすると

ma = F - P、Iα = Pr、rα = a

なので

mrα = F - I(α/r) → (mr^2 + I)α = Fr → (3/2)mr^2・α = Fr → α = Fr /{(3/2)mr^2}
P = Iα/r =　F/3

つまり静止摩擦は F の1/3 になることが分かります。従って滑らないためには

P < μmg → F < 3μmg が条件ですね。

yhr2 · Answer

物体に加える力と、摩擦力が働く場所が違う場合には、直接の比較ができません。

この場合には、ちょっと面倒です。
円板が回転するには、中心に力を加えてもダメで、円周部分に力を加える必要があります。円板には「慣性」があって、重いものほど大きな力を加えないと回転しません。この「回転しやすさ（しにくさ）」を表わすのが「慣性モーメント」です。

この「慣性モーメント」による回転運動と、中心=重心位置の「並進運動」の両方を考えないといけません。

とりあえず、このヒントでもう一度テキストなどを確認してみてください。

tknakamuri · Answer

＞運動方程式は、静止摩擦が十分大きいとすると
誤り
運動方程式は、静止摩擦係数が十分大きいとすると

ついでに補足を採点しておくと

>モーメントN=-μmg(反時計回りを正として考えました)

は r が抜けてますし、Nは最大摩擦とは限りません。条件はあくまで

モーメントN>-μmgr あるいは |N| < μmgr

N = -μmgr ではないので、滑らない場合の N を見積もって
μmgr と比べてみるのが適切な手順でしょう。

tknakamuri · Answer

>摩擦力のモーメントは負になりませんか？

図を付ければ良かったんですが、各力や変位や回転の
正の方向を決めて置けば良いのです。
そこから正負は決まります。

~だから負 とか決めてしまうと、不可能な組み合わせに
あたることが多々あります。あきらめましょう。

tknakamuri · Answer

＞進む方向と摩擦力による回転の方向が同じだから正になるという考え方は違いますか？

ちょっと整理しておきましょう。私の考えでは
円盤が進む方向は左でこちらを変位の正とします。Fも左が正。
回転は反時計回りが正。摩擦力Pは 右方向を正としています。

なので

ma = F - P、Iα = Pr、rα = a

という式になる。

質問者様の式では N が最大摩擦 x r になる場合

モーメントN=-μmgr(反時計回りを正として考えました)
N=I dω/dt
-μmgr=1/2 *mr^2 dω/dt
dω/dt=-2μmgr/mr^2

これだと右に進みまよね。すると
 -μmg （摩擦力）は左に向いてないとおかしい。すると
 -μmg （摩擦力）負で左向きということになります。

で、m dv/dt=F-μmg
となっているので、Fと変位は右方向を 正にしないとおかしくなります。

すると、v=-rω、になるので

F=μmg(1 + 2)

ということになりますね。

剛体の回転運動についての質問です。 以下の問題を解いて見たのですが、あっているのか不安なので、教えて